Integrales indefinidas 1

¿De dónde has sacado esas integrales? ¿Seguro qué te las piden? Yo no recuerdo haber hecho ninguna de ese estilo. Aparte la segunda es más abstracta, por lo menos mándala en una pregunta aparte, que son muy, pero que muy buenas preguntas incluso por separado.
Y ya te anticipo que tal vez no llegue hasta el final, va a salir un churro que con este editor de linea va a ser completamente incomprensible.
Las integrales racionales se resuelven descomponiéndolas en suma de otras integrales racionales más simples. Y para hacer esa descomposición hay que factorizar el denominador. Dependiendo de cuáles son los factores se usan diversos métodos, siendo los más complejos los que tienen raíces complejas precisamente. Todo eso forma parte de la teoría de este tipo de integrales.
Pasemos por tanto a factorizar:
z^5 + 1
Por pronto sabemos que al ser de grado impar tendrá una raíz real al menos.  Se descubre sin más que dicha raíz es -1 y la factorización que queda aplicando Ruffini es
z^5 - 1 = (z+1)(z^4 - z^3 + z^2 - z +1)
No nos molestemos en encontrar las raíces del segundo factor porque si derivamos el polinomio inicial
P'(z) = 5z^4 + 1 
Lo cual es siempre positivo, eso significa que el polinomio es siempre creciente y por lo tanto solo tiene una raíz real que era la ya hallada de z=-1
La teoría también dice que si un polinomio con coeficientes reales tiene una raíz compleja, el conjugado de esa raíz también es una raíz del polinomio. La demostración es sencilla usando el binomio de >Newton, no voy ha hacerlo. Y también se verifica que el producto
(Z - r)(z - r conjugada) es un polinomio real de grado 2
fácilmente verificable también.
Todo esto viene a cuento de que la factorización que nos pide la teoría de la integrales racionales exige factorizar en factores reales de grado 2 a lo sumo. Y con esto se ve que puede hacerse, pero no nos dice como.
En general, un polinomio de grado 5 elegido al azar va es ser irresoluble. Hasta el grado 5 existen fórmulas, aunque las de grado 3 y 4 sean insoportables. Pero es que en grado 5 no se puede garantizar un algoritmo que resuelva cualquier polinomio.
Por suerte este polinomio es el segundo más sencillo y tiene unas raíces sencillas que son las raíces quintas de -1.
z^5 = -1
z = (-1)^(1/5)
El cálculo se hace poniendo -1 en forma polar, que es 1 de módulo y 180 (o Pi) de argumento.
Y las raíces tienen 1 como módulo y argumentos 36 + 72j (o Pi/5 + 2·j·Pi/5) con j=0,1,2,3,4
Ya se que en matemática superior es preferible el uso del los radianes, pero a mi siguen diciéndome mucho más los ángulos en grados.
Estas raíces en forma normal son
cos 36 + i·sen 36
cos 108 + i·sen 108
-1
cos 252 + i·sen 252
cos 324 + i·sen 324
Las respuestas para 36 y 324 son conjugadas, lo mismo que las de 108 y 252.
Para abreviar llamemos
a = cos 36
b = sen 36
c = cos 108
d = cos 108
Las raíces serían:
-1
a + bi
a - bi
c + di
c - di
Hallemos ahora los factores. Como decíamos antes, el producto de los factores de dos raíces conjugadas es un polinomio real de grado 2.
(z-a-bi)(z-a+bi) = z^2 - az + biz - az +a^2 - abi - biz + abi +b^2  = z^2 - 2az + a^2 + b^2
(z-c-di)(z-c+di) = ....= z^2 - 2cz + c^2 + d^2
Luego la descomposición en factores es:
z^5 + 1 = (z+1) (z^2-2az+a^2+b^2) (z^2-2cz+c^2+d^2)
donde a,b,c,d son los senos y cosenos arriba indicados.
Llamemos f1 al primer factor (z+1), f2 al segundo y f3 al tercero para simplificar
Ahora hay que plantear lo siguiente
1/(z^5+1) = r/f1 + (tz+u)/f2 + (vz+w)/f3
1/(z^5+1) = [r·(f2)(f3) + (tz+u)(f1)(f2) + (vz+w)(f1)(f2)] / [(f1)(f2)(f3)]
Que como (f1)(f2)(f3) = z^5 + 1 se transforma en
1 = r·(f2)(f3) + (tz+u)(f1)(f2) + (vz+w)(f1)(f2)
El miembro de la derecha tras operar será un polinomio de grado 4 en z con incógnitas r, t, u, v, w.
Igualando a cero los coeficientes de grado 1,2,3,4 e igualando a 1 el coeficiente de grado cero tenemos 5 ecuaciones para hallar esas cinco incógnitas.
Supongo que te estarás dando cuenta hasta donde estamos llegando y por qué te decía al principio si alguien te obligaba a resolver esa integral. Una vez halladas r, t, u, v, w tendremos
las integrales de:
$r/f1 dz es un logaritmo neperiano
$(tz+u)/f2 dz puede ser complicada y será un logaritmo neperiano más un arcotangente o solo una de las dos cosas
$(vz+w)/f3 dz lo mismo que la anterior.
Y este es todo el desgaste que puedo hacer. Si tu lo haces por completo enhorabuena, pero es un trabajo bastante inútil.
Esta es la respuesta que da Máxima, copiada y pegada tal cual:
((sqrt(5)-3)*log(2*z^2+(sqrt(5)-1)*z+2))/(10-2*5^(3/2))-((sqrt(5)+3)*log(2*z^2+(-sqrt(5)-1)*z+2))/(2*5^(3/2)+10)+((sqrt(5)+1)*atan((4*z+sqrt(5)-1)/sqrt(2*sqrt(5)+10)))/(sqrt(5)*sqrt(2*sqrt(5)+10))+((sqrt(5)-1)*atan((4*z-sqrt(5)-1)/sqrt(10-2*sqrt(5))))/(sqrt(5)*sqrt(10-2*sqrt(5)))+log(z+1)/5

Aparte de diversas erratas y fallos de lenguaje que espero no hayan impedido que entendieras lo que quería decir, hay un fallo al principio, donde dice:
z^5 - 1 = (z+1)(z^4 - z^3 + z^2 - z +1)
debía decir
z^5 + 1 = (z+1)(z^4 - z^3 + z^2 - z +1)