¿Debe Xn ser convergente?

No, no tiene porque ser convergente.

Como contraejemplo sirve la serie armónica.

X1 = 1

X2 = 1 + 1/2

X3 = 1 + 1/2 + 1/3

X4 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4

X5 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5

........

Xn+1 = Xn + 1/n

Es la sucesión que cumple exactamente lo que nos piden ya que

Xn+1 - Xn = 1/n

Y no es convergente porque es mayor que esta

Y1 = 1

Y2 = 1 + 1/2

Y3 = 1 + 1/2 +1/4

Y4 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4

Y5 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8

Y6 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/ 4 + 1/8 + 1/8

Y7 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/ 4 + 1/8 + 1/8 + 1/8

Y8 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/ 4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8

Y9 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/ 4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16

Ahora vendrían otros 7 donde se suma 1/16, luego 16 donde se sumaría 1/32, etc.

Fíjate que todos los sumandos son menores o iguales que los de Xn

Y agrupados los sumandos con denominador común tendrías

Yn = 1 +1/2 + 2(1/4) + 4(1/8) + 8(1/16) + ....= 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ....

El valor exacto se puede calcular para elementos donde n = 2^m, entonces

Yn = 1 + m(1/2) = 1 + (1/2)log2(n)

Y eso tiende a infinito, luego la serie armónica tiende a infinito.

Ahora que lo veo tampoco es obligatorio tomar la serie armónica, podemos tomar directamente esta sucesión Yn que hemos construido como contraejemplo, cumple las condiciones y no converge.

Y eso es todo.