Transformación F y matriz asociada
Sea F: M2x2 ---> P3 y sean BM =
"(BM = cuatro matrices 2x2)"
1 1 0 1 1 2 0 0
0 1 -1 0 0 0 0 1
y BP = { 1-t, 1+t^2, 1 + 2t^2, t^3-t), si la matriz
$$[F]^{BP}_{BN} =$$1 0 -1 1
2 1 0 4
3 5 0 6
4 -3 2 10
hallar la transformación F y su matriz asociada
1 Respuesta
Voy a denotar las matrices con este tipo de notación, por ejemplo:
BM1 ( 1 1; 0 1)
Para hallar la transformación hay que hallar la imagen de un vector respecto de la base canónica de BM en función de la base canónica de BP.
Primero transformamos el vector de M2x2 en coordenadas canónicas a coordenadas BM. Eso es un cambio de base BMc ---> BM y lo que debemos hacer es expresar la imagen de los elementos de BMc en coordenadas de BM
(1 0; 0 0) = x(1 1; 0 1) + y(0 1; -1 0) + z(1 2; 0 0) + w(0 0; 01)
Esto genera un ecuación matricial del tipo PX=B que deberíamos resolver 4 veces.
1 0 1 0 | 1 | 0 | 0 | 0 1 1 2 0 | 0 | 1 | 0 | 0 0 -1 0 0 | 0 | 0 | 1 | 0 1 0 0 1 | 0 | 0 | 0 | 1
Simplificaré poniendo un solo separador. Y es que la resolución de estos cuatro sistemas es equivalente a la búsqueda de la inversa por el método de Gauss. Comenzaré ya a hacer ceros en la matriz izquierda y haciendo las mismas operaciones en la derecha
1 0 1 0 | 1 0 0 0 0 1 1 0 |-1 1 0 0 0 -1 0 0 | 0 0 1 0 0 0 -1 1 |-1 0 0 1 1 0 1 0 | 1 0 0 0 0 1 1 0 |-1 1 0 0 0 0 1 0 |-1 1 1 0 0 0 -1 1 |-1 0 0 1 1 0 1 0 | 1 0 0 0 0 1 1 0 |-1 1 0 0 0 0 1 0 |-1 1 1 0 0 0 0 1 |-2 1 1 1 1 0 0 0 | 2 -1 -1 0 0 1 0 0 | 0 0 -1 0 0 0 1 0 |-1 1 1 0 = M 0 0 0 1 |-2 1 1 1
Cada columna de la derecha son las coordenadas de los elementos de BMc en BM, luego eso hace que la matriz de la derecha sea la matriz del cambio. Vamos a llamar M a esa matriz derecha.
Ahora necesitamos la matriz del cambio en el otro espacio vectorial P3, esta vez el cambio será de la base BP que nos dan a la base canónica de P3 (que llamaré BPc), esto es mucho más sencillo que lo que hicimos antes. La matriz del cambio tendrá en cada columna las coordenadas de la base BP en función de BPc. Y a la matriz la llamaré P.
1 1 1 0
-1 0 0 -1
P = 0 1 2 0
0 0 0 1Entonces el proceso es este:
Tomamos una matriz n € M2x2 en coordenadas canónicas
Mediante el cambio de base dado por la matriz que hemos llamado M hallamos las coordenadas en base BM. Eso es el producto matricial:
Mn
Ahora con la matriz F sub BN super BP (que simplificaré como F) obtenemos la imagen por la aplicación en coordenadas BP. Eso es el producto de F por lo que teníamos antes:
FMn
Y finalmente mediante la matriz P transformamos las coordenadas en base BP a base BPc. Eso es este producto
PFMn
Luego la aplicación lineal que es la dada por el producto de matrices PFM
Es mucho trabajo escribir las operaciones aquí. Me tomo un respiro y las multiplicaciones las hace Máxima, que además es fácil equivocarse uno.
6 6 -1 11
PF = -5 3 -1 -11
8 11 0 16
4 -3 2 10
-9 4 -2 11
(PF)M = 13 -7 -10 -11
-16 8 -3 16
-14 8 11 10Desde luego que vaya resultado.
Y si quieres pasamos de la expresión matricial respecto de las bases canónicas a la representación usual
F(a b; c d) =
-9a +13at -16at^2 - 14at^3 + 4b - 7bt + 8bt^2 + 8bt^3 - 2c -10ct - 3ct^2 + 11ct^3 + 11d - 11dt + 16dt^2 + 10dt^3 =
-9a+4b-2c+11d + (13a-7b-10c-11d)t + (-16a+8b-3c+16d)t^2 + (-14a+8b+11c+10d)t^3
Y eso es todo.
