Volumen de superficie limitada por un paraboloide y un plano

La intersección del paraboloide y el plano es la circunferencia x^2+y^2=25

Si se hace con coordenadas cartesianas sería

Dominio en x = [-5, 5]

Dominio en y = [-sqrt(25-x^2), sqrt(25-x^2)]

Y el volumen sería

$$\begin{align}&V=\int_{-5}^5\int_{-\sqrt{25-x^2}}^{\sqrt{25-x^2}}(25-x^2-y^2)dy\,dx\\ &\\ &\text{pero por simetrias es}\\ &\\ &V=4\int_0^5\int_0^{\sqrt{25-x^2}}(25-x^2-y^2)dy\,dx\\ &\\ &4\int_0^5 \left[(25-x^2)y-\frac{y^3}{3}  \right]_0^{\sqrt{25-x^2}}dx=\\ &\\ &4\int_0^5\left((25-x^2)^{\frac 32}-\frac{(25-x^2)^\frac 32}{3}\right)dx=\\ &\\ &\frac 83\int_0^5(25-x^2)^{\frac 32}dx=\\ &\\ &x=5sent  \quad dx=5cost\,dt\\ &x=0\implies t=0\\ &x=5\implies t=arcsen(1)=\frac{\pi}{2}\\ &\\ &=\frac 83\int_0^{\frac{\pi}{2}} (25-25sen^2t)^{\frac 32}·5cost\,dt=\\ &\\ &=\frac {40}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}} (25cos^2t)^{\frac 32}cost\,dt=\\ &\\ &=\frac{40}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(5cost)^3cost\,dt=\\ &\\ &\frac{5000}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^4t\,dt=\\ &\\ &\frac{5000}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac 12+\frac{\cos 2t}{2}\right)^2dt=\\ &\\ &\frac{5000}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac 14+\frac{\cos 2t}{2}+\frac{\cos^2 2t}{4}  \right)dt=\\ &\\ &\frac{5000}{3}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac 14+\frac{\cos 2t}{2}+\frac 18+ \frac{\cos 4t}{8}  \right)dt=\\ &\\ &\frac{5000}{3}\left[\frac{3t}{8}+\frac{sen\,2t}{4}+\frac{sen\, 4t}{32}  \right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\\ &\\ &\frac{5000}{3}\left(\frac{3\pi}{16}+0+0-0-0-0  \right)=\\ &\\ &\frac{5000\pi}{16}=\frac{625\pi}{2}\approx 981.74770422\end{align}$$

Pues lo tienes bien hecho, es el libro el que tiene las respuestas equivocadas.

Y con cilíndricas

ro entre 0 y 5

theta entre 0 y 2pi

jacobiano = ro

$$\begin{align}&V=\int_0^5\int_0^{2\pi}\int_0^{25-x^2-y^2}\rho \,dz\,d\theta\,d\rho\\ &\\ &\\ &\text{Como el cambio de variable es:}\\ &x=\rho \cos \theta\\ &y =\rho sen\,\theta\\ &tenemos\\ &x^2+y^2 = \rho^2\\ &\\ &V=\int_0^5\int_0^{2\pi}\int_0^{25-\rho^2}\rho \,dz\,d\theta\,d\rho=\\ &\\ &\int_0^5\int_0^{2\pi}\rho z|_0^{25-\rho^2}\,d\theta\,d\rho=\\ &\\ &\int_0^5\int_0^{2\pi} \rho(25-\rho^2)\,d\theta\,d\rho=\\ &\\ &\int_0^5 \rho(25-\rho^2)\theta|_0^{2\pi}\,d\rho=\\ &\\ &2\pi\int_0^5(25\rho-\rho^3)d\rho=\\ &\\ &2\pi\left[\frac{25\rho^2}{2}-\frac{\rho^4}{4}   \right]_0^5=\\ &\\ &2\pi\left(\frac{625}{2}-\frac{625}{4}\right)=\\ &\\ &2\pi\left( \frac{2·625-625}{4}\right)=\\ &\\ &\\ &2\pi \frac{625}{4}=\frac{625\pi}{2}\approx 981.7477042\\ &\\ &\end{align}$$

Y con esta ya van dos, aparte del ordenador que confirma lo que he hecho. Luego las respuestas del libro están mal. Llevo aquí contestadas más de 7000 preguntas, y son muchos los casos donde las respuestas de los libros están mal.

Y eso es todo.

Gracias nuevamente por contestar de forma tan completa!!
Te consulto que software utilizas? me serviria mucho para verificar si hice correctamente un ejercicio o no.

Lo peor es que es una pregunta de un trabajo practico y en las rtas del multiple choice no aparece este resultado, pero no seria gran cosa que esten mal las rtas ya me encontre con varias en varias materias.

Otra vez te agradesco, te pregunto del soft como una "aclaracion" porque nose si te puedo mandar directamente la consulta.

Yo uso un programa llamado Máxima, pero no es que sea muy agradecido visualmente, hay que conocer las órdenes.

Por cierto si descargas la última versión tiene inoperante la ayuda en español, descarga una versión 5.30 en lugar de 5.31, Aquí te dejo en enlace.

Máxima 5.30

La integral doble esta se escribía como

Integrate(integrate(25-x^2-y^2, y,-sqrt(25-x^2), sqrt(25-x^2)), x,-5,5);

y toda multiplicación debe llevar asterisco, no sirven 2x, xy, 3(x+1) debe ser 2*x, x*y, 3*(x+1)

Y también hay soluciones en línea, si buscas calculadoras de integrales encontrarás algunas páginas que te hacen las integrales.

Buenisimo si lo he usado, uso linux desde hace varios años, hoy me instale sage a ver que tal esta.

Te hago la ultima consulta y ya te califico, hay algun soft que saque los limites de integracion? es lo que mas flojo estoy ...

Muchas gracias.