Determinar convergencia superlineal
Espero me puedas ayudar con esto:
Determina si las siguientes sucesiones convergen lineal o superlinealmente a cero cuando n tiende a infinito.
1.
$$z_n = \frac{1}{n*ln(n)}$$2.
$$z_n=\frac{1}{n}e^{\frac{1}{n}}$$Usando la siguiente definición.
Para el 2. Tengo esto:
e^(1/n) <= e y por tanto: |Zn| = |(1/n)e^(1/n)| <= (e/n) --- y se tiene convergencia al menos lineal.
Ahora si fuese superlineal existiría una sucesión positiva convergente a cero {Cn} tal que:
(1/n)(e^(1/2))< ((Cn)/n)
Pero entonces: 0<e^(1/n)<Cn
y aplicando límite 0<1<0 , lo cual es imposible. No es convergencia superlineal.
Convergencia superlineal. Decimos que la sucesión {Zn} converge superlinealmente a un número si existe una sucesión de números positivos {Cn} tal que:
$$\lim_{x \to \infty} c_n = 0$$y
$$|z_n -z|\leq\frac{c_n}{n}$$
1 Respuesta
Me viene muy bien el ejemplo que has puesto porque de esto de las convergencias no me acordaba de nada, no sé si en su momento estudié la convergencia superlineal o no.
Y el razonamiento es correcto y no hay convergencia superlineal
Veamos el otro ejercicio:
Zn = 1/[n·ln(n)]
Esta claro que es de la forma 1/+oo luego converge a cero. Debemos comprobar si existe esa sucesión Cn con límite 0 en el infinito y tal que
Lim n-->+oo de |1/[n·ln(n)]| <= lim n-->+oo de Cn/n
Como n > 0 y ln(n) > 0 cuando n-->oo lo de dentro dewl valor absoluto es positivo
Lim n-->+oo de 1/[n·ln(n)] <= lim n-->+oo de Cn/n
Al ser n>0 se puede simplificar sin cambiar de sentido la desigualdad
Lim n-->+oo de 1/ln(n) <= lim n-->+oo de Cn
Pues es bien sencillo, basta con tomar la sucesión
Cn = 1/ln(n)
o si no quieres andar tan justo, toma la sucesión
Cn = 2/ln(n)
Para que haya desigualdad estricta.
Esas sucesiones tienden a cero cuando n -->+oo y verifican la condición de convergencia superlineal
|Zn| = 1/[n·ln(n)] <= [1/ln(n)]/n <= Cn/n
Luego Zn = 1/[n·ln(n)] converge superlinealmente a cero.
Y eso es todo.
