Saludos. Ayuda para este ejercicio de funciones

Para que exista la raíz cuadrada y el denominador sea distinto de 0 debe cumplirse

x>5

Con ello el numerador será siempre positivo (>11) y como el denominador también lo es por definición, la función será siempre positiva.

Y ademas la función es continua en el dominio (5, oo) ya que es cociente de continuas con numerador no nulo.

Y el limite en 5 por la derecha es de la forma 11 / 0 = oo y el límite en infinito también es oo ya que el numerador tiene grado 1 y el denominador 1/2.

Veamos cuáles son los mínimos de la función, para ello calculamos la derivada

$$\begin{align}&f(x)= \frac{x+6}{\sqrt{x-5} }\\ &\\ &f'(x) =\frac{\sqrt{x-5}-\frac{x+6}{2 \sqrt{x-5}}}{x-5}=\\ &\\ &\\ &\frac{2x-10-x-6}{2(x-5)\sqrt{x-5}}=\frac{x-16}{2(x-5) \sqrt {x-5}}\end{align}$$

La derivada es continua y el único cero es x=16, por eso un mínimo forzosamente ya que la función debe decrecer antes desde el infinito que hay en x=5 y crecer después hasta el infinito de x=infinito

El valor de la función en x=16 es

22 / sqrt(11) = 2 sqr(11)

Luego el rango de la función es

Rango f = [2 sqrt(11), oo)

Y eso es todo.