Mi pregunta es:¿Tiene solución única esta ecuación diferencial?

El teorema de existencia y unicidad de solución dice.

Consideremos la ecuación diferencial

y' = f(x,y)

Supongamos que se verifica que f(x, y) y la parcial de f respecto a y son continuas en las variables (x, y) en un dominio D.

Entonces, para cualquier punto (xo, yo) € D existe una solución única (llamémosla y) de la ecuación diferencial definida en un intervalo (xo-epsilon, xo+epsilon) que satisface la condición y(xo)=yo

La primera ecuación es

y' = (x-y) / (2x+5y)

y el punto es (0,1)

En el punto (0,1) la función es continua. Los puntos de discontinuidad son los de la recta 2x+5y=0 Si haces la gráfica del punto y la recta verás que se puede tomar un entorno del punto que no contiene la recta.

Y la derivada respecto de y es

[-(2x+5y)-5(x-y)] / (2x+5y)^2

Tiene los mismos puntos de discontinuidad que f(x, y) luego podemos tomar es mismo entorno y dentro de el la derivada parcial es continua.

Luego se cumplen las condiciones y hay solución única.

No entiendo muy bien la función que querías poner, si era

$$\begin{align}&y´=(1-x^2-y^2 )^{1/2}\\ &\\ &y(0)=0.5\end{align}$$

tenemos que f(x,y) es continua en todo R2.

Y la derivada parcial respecto de y es

-(x+y) / sqrt(1-x^2-y^2)

En el punto (0, 0.5) el denominador es sqrt(1 - 0 - 0.25) = sqrt(0.75)

Luego es continua y se puede encontrá un intervalo del punto donde es continua ya que

1-x^2-y^2 = 0 es la circunferencia unidad y hay un entorno centrado en (0, 0.5) que no la toca.

Luego se cumplen las condiciones del teorema y hay solución única.

Y eso es todo.