Una función derivable es creciente donde la derivada es positiva y decreciente donde la derivada es negativa. Si además la derivada es continua, esta derivada para pasar de positiva a negativa y viceversa deberá pasar por el 0. Luego vamos a calcular la derivada y ver en que puntos vale 0 para estudiar su signo.
f (x) = x^2 + 3
f '(x) = 2x
2x = 0
x = 0
Luego hay un único punto donde f '(x) = 0 todo el intervalo anterior tendrá un signo y todo el intervalo posterior el mismo signo
en (-oo, 0) se cumple f '(x) = 2x < 0 como puede comprobarse tomando x=-1 por ejemplo
en (0, +oo) se cumple f '(x) = 2x >0 tomando x=1 se comprueba
Luego la función es decreciente en (-oo, 0)
y es creciente en (0, +oo)
Si la función es derivable puede tener máximos o mínimos en los puntos donde la derivada se anula. En este caso en x=0.
Pero si examinamos la función vemos que hasta 0 decrece y después crece, entonces lo que hay en x= 0 es un mínimo.
Luego si nos piden un máximo la respuesta es que no existe y so se equivocaron y pedían un mínimo es mínimo esta en x=0 y como f(0) = 0^2+3 = 3 el punto del mínimo es (0, 3)