Crecimiento de funciones y extremos relativos

No me enterado de casi nada.

Por lo que pones creo que ahora se trata de una función de una sola variable cuya derivada es nula en (-1/3)

Tomas el punto -1 y la derivada es negativa y tomas el punto 0 y es cero

Pero eso solo te asegura que en el punto x=-1 es creciente y que el el punto x=0 tiene tangente horizontal, no te dice nada acerca de como se comporta en el punto (-1/3). Si quieres saber lo que pasa en el punto (-1/3) tienes que estudiar ese punto, que es lo que hace la función cuando se acerca a el, no lo que pasa a mucha distancia de él.

Si me mandas el ejercicio completo te lo explicaré mejor.

Exactamente!! Me refiero a que si tomo el punto -1, la derivada es negativa y cuando tomo el punto 0, la derivada es 0. El ejercicio es el siguiente:

Estudiar el comportamiento (monotonía, convexidad y extremos relativos) de la función:

$$f(x,y)=2x^2y+yx$$

en la recta de dirección y sentido dada por el vector (1,1) y que pasa por el origen.

Lo primero que he hecho, es calcular la función en la recta en la dirección del vector (1,1) y que pasa por el punto (0,0). Y me da como resultado:

$$f(0,0)=2?^3 +?^2$$

Después he calculado la primera derivada de la función anterior, que me da:

$$f$$

Luego si representamos en una recta el punto -1/3 o lo que es lo mismo, -0,3 periodo, quedaría situado entre -1 y 0, por tanto, si sustituimos en la primera derivada:

f'(-1)=6(-1)^2+2(-1)=-8

f'(0)=6(0)^2+2(0)= 0

Por lo tanto:

Si f '(-1)<0 entonces ]-infinito,-1/3[ es DECRECIENTE

Si f ' (0)=0 entonces ]-1/3,+infinito[ ¿sería CONSTANTE O CRECIENTE?

A continuación, he hallado la 2ª derivada de la 1ª derivada para estudiar la convexidad y no he tenido ningún problema. El problema surge a la hora de hallar los extremos relativos. En este sentido, cómo no estoy segura de si la función pasa de decreciente a creciente o de decreciente a constante, no sé si la función -1/3 tiene un mínimo o un máximo relativo. Yo dirían que primero decrece y después crece hasta llegar a 0 y hacerse constante, pero no estoy segura. ¿Cómo lo ves tú?

Espero tu respuesta,

Gracias y Un Saludo!!

Te vuelvo a poner las fórmulas, que parece que no se han grabado bien:

Lo primero que he hecho, es calcular la función en la recta en la dirección del vector (1,1) y que pasa por el punto (0,0). Y me da como resultado:
f(0,0)=2?^3+?^2
Después he calculado la primera derivada de la función anterior, que me da:
f'(?)=6?^2+2?=-1/3

Las fórmulas no se ven ni la primera ni segunda vez, debes utilizar alguna letra de esas que el editor no admite. De todas formas lo hago a mi manera.

Los puntos en la dirección (1,1) pasando por (0,0) tienen la forma

(0,0) + t (1,1) = (t,t)

Son puntos con la misma coordenada, luego la función es

f(t,t) = 2t^3 + t^2

Podemos expresarla como función de una sola variable

g(t) = 2t^3 + t^2

Calculamos los puntos críticos igualando la derivada a 0

g´(t) = 6t^2 + 2t = 0

t=0 es una de ellos

dividimos por t y queda

6t+2= 0

t = -2/6 = -1/3

Luego los puntos críticos son

t=0; t=-1/3

Primero calculamos el crecimiento o decrecimiento, para ello calculamos el valor de la derivada en puntos intermedios de los 3 trozos que se han formado

En (-infinito, -1/3) tomamos el -1 por ejemplo

g´(-1) 6(-1)^2+2(-1) = 6-2 = 4 > 0 la función crece

En (-1/3, 0) tomamos -1/10 por ejemplo

g'(-1/10) = 6/(-10)^2 + 2/(-10) = 6/100 - 2/10 = 6/100 - 20/100 = -14/100 <0 decrece

En (0,+infinito) tomamos el 1 por ejemplo

g´(1) = 6(1^2)+2·1 = 8>0 luego crece

En (-1/3) antes crece y luego decrece, luego es un máximo relativo.

En 0 antes decrece y luego crece, luego es un mínimo relativo

Para la concavidad y convexidad se estudia la derivada segunda

g´´(t) =12t+2

12t+2=0

t=-2/12=-1/6

Es convexa (U) cuando la derivada segunda es positiva y cóncava (n) cuando es negativa

Tomamos un valor anterior a (-1/6) por ejemplo -1

g´´(-1)=12(-1)+2 = -10 < 0

Luego en (-infinito, -1/6) es cóncava

Y si tomamos un valor posterior, por ejemplo el 0

g´´(0) = 12·0+2 = 2 > 0

Luego en (-1/6, + infinito) es convexa.

Y eso es todo.

Ok, me ha quedado clarísimo!! La convexidad la había calculado bien, lo que no tenía bien es la monotonía y los extremos relativos. Un última pregunta antes de cerrar el hilo, ¿uno de los puntos críticos siempre va a ser igual a 0?

A la espera de su respuesta,

Gracias y Un Saludo!!

No, no tiene porque ser crítico siempre el punto cero.

Esta vez lo era porque se anulaba la derivada en él.

g´(t) = 6t^2 + 2t

Que tiene una raíz en el 0 y otra en -1/3

Pero si la derivada fuera por ejemplo

g´(t) = t^2+2t+1

aquí el cero no es un punto crítico porque la derivada en el cero vale

g'(0) = 0+0+1 = 1

Muchas gracias por los elogios que me has brindado en la otra respuesta. La verdad es que si me esfuerzo mucho algunas veces. Y otras me es imposible contestar porque si algo no lo entiendo no lo contesto, aunque haya encontrado algún ejercicio resuelto con el que pudiera contestar la pregunta. No solo quiero ayudar, también mejorar mis conocimientos y superarme.