Cálculo de un límite

Piensa que un polinomio de grado n puede tener n respuestas, luego quizá haría falta decir que respuesta de todas las que haya es la que se debe tomar. No obstante te lo estoy diciendo a primera vista tal vez luego se vea más claro.

Lo que sí debo saber seguro es si la letra a es la misma en todas las ecuaciones, la b la misma y asi con todas.

Si me pusieras un ejemplo con números tampoco me vendría mal.

No es problema que sepa resolver ya, puede que me cueste mucho o que no pueda responder. Creo que es algo bastante más complicado que un problema de límites, es un problema se raíces de polinomios y hasta el grado 2 sabemos hacerlas, las de grado 3 y 4 tienen formulas complicadísimas y para grado 5 o más no hay fórmulas. Pero investigaré un poco.

Hola de nuevo, muchas gracias por la respuesta y por la celeridad de la misma.

En respuesta a tus preguntas:

- las letras adoptan el mismo valor en todas las ecuaciones.

- Te pongo un ejemplo:

a - 2.07

b - 2.54

c - 2.2499

d - 2.0087

e - 2

f - 1.5789

g - 1.2105

h - 1.7857
i - 2

j - 2

k - 1.83

Con estes valores llego a tener una ecuación de grado 11.

Al resolver las ecuaciones desde el grado 2 hasta el 11 (usando el programa de la página wolframalpha.com) me encuentro que dan varias soluciones, una real y positiva (es la que vale), a veces una negativa (no tiene sentido para el cálculo que hacemos) y otras veces soluciones complejas (tampoco sirven).

Teniendo en cuenta las soluciones reales positivas, los valores que obtengo son:

grado 2 x = 2.93532

grado 3 x= 3.11662

grado 4 x=3.1619

grado 5 x = 3.17543

grado 6 x = 3.17872

grado 7 x = 3.17951

grado 8 x = 3.17988

grado 9 x = 3.18001

grado 10 x = 3.18005

grado 11 x = 3.18006

Como ves tiende a un valor límite, por eso me surgió la pregunta. Sin embargo, ahora que he realizado estos cálculos, me doy cuenta que para calcular el polinomio de grado n, tendré que conocer los valores de todos los números que acompañen a la incógnita (a,b,c,d....), y eso lo desconozco cuando, en la ecuación 4) de la pregunta, i tiende a infinito.

La verdad es que me cuesta un poco.

Espero no darte muchos quebraderos de cabeza, si es así, no le des más importancia.

Saludos y gracias

Si, será necesario conocer los coeficientes, o una regla de formación de los mismos, porque en el ejemplo que me pones parece que quiera haber algún límite muy próximo a 3.18, pero si en vez de tomar 1,83 como último coeficiente tomas 1000 te dará x=3.18629 y si tomas 1000000 te dará x=3.95796.

Si tomas el coeficiente pequeño la solución será parecida a la anterior porque tal como se van formando las ecuaciones en cada paso, tenemos que el polinomio nuevo es el anterior por x restándole el coeficiente nuevo

$$\begin{align}&P_i(x) = x·P_{i-1}(x)-k_i\\ &\\ &P_i(x) - P_{i-1}(x)= (x-1)·P_{i-1}(x)-k_i\\ &\\ &\text {En la solución del polinomio anterior } P_{i-1}(x_{i-1})=0\\ &\\ &P_i(x_{i-1}) =-k_i\end{align}$$

Y si ese coeficiente ki no es desmesurado y teniendo en cuenta que la pendiente de los polinomios crece muchísimo según crece el grado que tienen, resulta que con una mínima variación de la x sobre la solución anterior, el polinomio Pi puede llegar a valer cero.

Y eso es en general, pero para calcular el valor exacto del límite es necesario conocer los valores exactos de los coeficientes.

Y eso es todo.