Tangente a una hipérbola
Hallar la ecuación de la tangente a la hipérbola
$$4x^2-y^2=28$$
en el punto de abscisa positiva y ordenada 6
1 Respuesta
Pondremos la ecuación con y^2 despejada
y^2 = 4x^2 - 28
La abscisa es la coordenada x de un punto, la ordenada es la coordenada y.
6^2 = 4x^2 - 28
36+28 = 4x^2
4x^2 = 64
x^2 = 16
como dicen que es positiva se toma la raíz cuadrada con signo +
x = 4
La curva de arriba se descompone en dos funciones y=f(x)
y = sqrt(4x^2 - 28)
y = - sqrt(4x^2 - 28)
como y=6>0 la función que sirve es la primera.
Luego debemos hallar la tangente a la función
f(x) = sqrt(4x^2 - 28) en el punto x=sqrt(2)
La recta tangente en un punto (xo,yo) es
y = yo + f '(xo)(x-xo)
que en este caso será
y = 6 + f '(4) · (x - 4)
Vamos a calcular la derivada
$$\begin{align}&f(x) = \sqrt{4x^2-28}\\ &\\ &\\ &f'(x) = \frac {8x}{2 \sqrt{4x^2-28}} = \frac{4x}{\sqrt{4x^2-28}}\\ &\\ &\\ &f'(4)=\frac{16}{\sqrt{64-28}}=\frac{16}{\sqrt{36}}=\frac {16}{6}=\frac 83\\ &\\ &\end{align}$$Luego la recta tangente es
y = 6 + (8/3)(x-4)
y = 6 + 8x/3 - 32/3
y = 8x/3 + (18-32)/3
y = 8x/3 - 14/3
Y eso es todo.
