Problema por simulación

Billy el Niño reta a Pat Garret a un duelo. Los dos son unos tiradores malos. La probabilidad de que Garret acierte a Billy es de un tiro es de 1/10 , pero la probabilidad de que Billy acierte a Garret es de 1/5. Garret cree que el duelo no es una buena idea, y Billy está de acuerdo, por esto, le propone que para que haya mayor equilibrio, que sea Garret el que dispare primero y después de manera alternativa, lo vayan haciendo hasta que uno acierte al otro. Se trata de un duelo justo o no? Por qué?

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5.843.850 pts. Me voy x tiempo. Necesito hacer otras cosas, descansar...

Entonces supongo que querrán decir que el duelo es justo si la probabilidad de cada uno es el 50º

La probabilidad de que gane Garret es la probabilidad de acertar en su primer tiro, mas la de acertar en su segundo, el tercero, etc.

P(1) = 1/10

Para que pueda disparar el segundo tiro habrá sido necesario que él falle el primero y que Billy lo haya fallado también. Eso unido a que acierte el segundo nos da

P(2) = (9/10)(4/5)(1/10) = 36/500

Para que pueda disparar el tercero y acierte han tenido que fallar ambos los dos primeros

P(3) = (9/10)(4/5)(9/10)(4/5)(1/10) = 1296 / 25000

Y asi podríamos calcular sucesivamente y hacer la suma. Pero matemáticamente hay una forma exacta de calcular esa suma

Vemos que cada término es el anterior multiplicado por (9/10)(4/5)

Luego es una progresión geométrica de razón 36/50 = 18/25

Y supongo que lo habrás dado, o si no aquí tienes la fórmula de la suma infinita de una progresión geométrica:

Wikipedia, suma progresión infinita

$$\begin{align}&S_{\infty}= \frac{a_1}{1-r}= \frac{\frac {1}{10}}{1-\frac{18}{25}}=\\ &\\ &\frac{\frac{1}{10}}{\frac{25-18}{25}}= \frac{1}{10}\div \frac{7}{25}=\frac{25}{70}= \frac{5}{14}=0.35714...\end{align}$$


Luego la probabilidad de ganar Garret no llega a la mitad y el duelo no sería justo. Aunque también podría decirse que depende de sí mismo por ser el primero en disparar, pero eso ya son otro tipo de cuestiones.

Y eso es todo.

Muchas gracias, aunque como bien decía al principio la solución debe de ser por simulación no por resolución teórica. Es decir hacerlo con papelitos o con el sistema de producción de números aleatorios. Y si es por reposición o no. Muchas gracias de nuevo.

No entiendo muy bien cómo es el método que dices. Si quieres puedo hacer un programa informático que haga una simulación de cuantos duelos desees.

Pero te agradecería que eso me lo formulases en otra pregunta y puntuases esta cuya respuesta es impecable.

Ya hace varios días que respondí a tu pregunta. Puntúa por favor no cuesta nada.

Y si quieres la simulación por ordenador puedes hacerlo en otra pregunta.

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