La integralde la funcionx

Perdona por la tardanza pero estoy muy liado.

Hagamos la gráfica que ya la tenía hecha de otro ejercicio de áreas

La parte coloreada es la que genera el solido al girar. La dividimos en dos partes sino saldrían resultados erróneos.

Vamos a calcular el punto de intersección

senx = sen(2x)

senx = 2senx·cosx

Hay una solución con senx=0 que es (0,0) que ya la sabemos.

Simplificamos senx

1 = 2cosx

cosx = 1/2

X = pi/3 que son los 60º cuyo coseno es 1/2

Con esto el volumen es

$$\begin{align}&V=\pi\int_0^{\pi/3}(sen^22x-sen^2x)dx +\\ &\\ &\pi\int_{\pi/3}^{\pi/2}(sen^2x-sen^22x)dx=\\ &\\ &\text{usamos la fórmula }sen^2x = \frac 12 -\frac{\cos 2x}{2}=\\ &\\ &\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi/3}(-\cos 4x+\cos 2x)dx +\\ &\\ &\frac{\pi}{2}\int_{\pi/3}^{\pi/2}(-\cos 2x +\cos 4x)dx=\\ &\\ &\\ &\frac{\pi}{2}\left[-\frac{sen 4x}{4}+\frac{sen 2x}{2}  \right]_0^{\pi/3}+\frac{\pi}{2}\left[-\frac{sen 2x}{2}+\frac{sen4x}{4}  \right]_{\pi/3}^{\pi/2}=\\ &\\ &\frac{\pi}{2}\left(-\frac{sen240º}{4}+\frac{sen120º}{2}+0-0-0+0+\frac{sen120}{2}-\frac{sen240º}{4}  \right)=\\ &\\ &\\ &\pi\left(\frac{sen120º}{2}-\frac{sen240º}{4}  \right)=\\ &\\ &\pi \left(\frac{\sqrt 3}{4}+\frac{\sqrt 3}{8}  \right)=\\ &\\ & \frac{3 \sqrt 3}{8}\pi\end{align}$$

Y eso es todo.