Ecuación de la recta tangente

La fórmula de la recta tangente a f(x) en un punto (xo, yo) es

y = yo + f '(xo)(x-xo)

Calculamos la derivada

f '(x) = e^x + x·e^x

El punto es xo=0 luego

f '(xo) = f '(0) = e^0 + 0·e^0 = 1+0 = 1

y el valor de yo es

yo = f(xo) = 0·e^0 = 0

con todo esto la ecuación de la recta tangente es:

y = 0 + 1·(x-0)

y = x

Para el polinomio de Taylor de grado 2 necesitaremos la derivada segunda

f ''(x) = e^x + e^x + x·e^x = (2+x)e^x

El desarrollo se hace en x=0

f ''(0) = (2+0)e^0 = 2·1 = 2

Tenemos los tres elementos que necesitamos

f(0) = 0

f '(0) = 1

f ''(0) = 2

Y la fórmula de Taylor desarrollada en un punto xo

p(x) = f(xo) + f '(xo)(x-xo) + [f ''(xo)(x-xo)^2 / 2!] +.....+ [fn(xo)(x-xo)^n / n!]

El polinomio de grado 2 para nuestra función es

p(x) = 0 + 1(x-0) + 2(x-0)^2 / 2 = x +x^2

Luego el polinomio de Taylor de grado dos desarrollado en x=0 es

p(x) = x+x^2

Lo de calcular la función en 1 imagino que quieren que lo hagas usando el polinomio que acabas de calcular.

p(1) = 1+1^2 = 1+1 = 2

pero no es una aproximación muy buena ya que

f(1) = 1·e^1 = e = 2.718281828

Si era otra cosa lo que querías decir ya me lo dirás.

Y eso es todo.