Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por una recta

Es un lio porque las fórmulas del editor no quedan bien al pegarlas en el texto normal. Esto es lo que contesté:

$$\begin{align}&(x-0)^2+(y-0)^2=(x-0)^2+(y-4)^2\\ &\\ &x^2+y^2 = x^2+ y^2 - 8y + 16\\ &\\ &8y-16=0\\ &\\ &y= 2\\ &\\ &\text{Y la intersección con la recta x-2y+2=0 es}\\ &\\ &x-4+2=0\\ &\\ &x-2=0\\ &\\ &x=2\\ &\\ &\text{Luego el centro es (2,2)}\\ &\text{Y el radio es la distancia a (0,0) por ejemplo}\\ &\\ &r= \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt 8\\ &\\ &\text{La ecuación es:}\\ &(x-2)^2+(y-2)^2 = 8\\ &\\ &\text{o de otra forma}\\ &x^2-4x+4 +y^2-4y+4 -8 = 0\\ &x^2+y^2-4x -4y = 0\end{align}$$

Si quitamos los ceros innecesarios de la primera línea que los puse para que vieras el proceso completo quedaría

$$x^2+y^2=x^2+(y-4)^2$$

El último sumando es un binomio al cuadrado que imagino habrás desarrollado muchas veces

mediante las fórmula notables

$$\begin{align}&(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\\ &\\ &(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\\ &\\ &\text{Al aplicar la segunda a } (y-4)^2 \text{ da}\\ &y^2-2·y·4+16 = y^2-8y+16\end{align}$$

De ahí sale es -8y que preguntabas.

Y con lo de

"la formula principal cual seria expresada en términos generales"

¿No sé a qué te refieres?

Podrías precisar más a que te refieres con "formula principal".

Si te refieres a la ecuación completa de la circunferencia es

$$x^2+y^2+ax+by+c=0$$

pero si es otra cosa no sé qué quieres decir.