Explicación ejercicio recta
Hola buenas tardes no sé cómo resolver este ejercicio me podría explicarlo:
Comprueba que la recta que pasa por los puntos (-2,1) y (6,-3) es perpendicular a la recta de ecuación y = 2x - 5 y determina el punto de corte entre ambas rectas.
Gracias por su ayuda.
1 respuesta
La noción de perpendicularidad es intuitiva, pero matemáticamente viene del producto escalar de dos vectores, que se dicen perpendiculares cuando su producto escalar es cero.
Entonces dos rectas se dicen perpendiculares cuando el producto escalar de sus vectores directores es cero. Y está demostrado teóricamente que tomemos los vectores directores que tomemos (por supuesto distintos de 0) si se da un producto escalar 0 será cero par los otros.
Entonces vamos a ver cuáles son estos vectores directores
En recta definida por dos puntos se toma el vector entre esos dos puntos
(6, -3) - (-2, 1) = (6-(-2), -3-1) = (8, -4)
Y en la recta dada por la ecuación hay variás formas de calcularlo
Si la ecuación tiene forma Ax+By+C= 0 el vector es (B, -A)
luego de 2x-y-5= 0 el vector es (-1, -2)
O se puede hacer más directamente de la ecuación explicita con 1 en la primera coordenada y la pendiente en la segunda.
de y = 2x-5 tendremos (1, 2)
No es el mismo vector pero es paralelo luego sirva cualquiera de los dos.
Resumiendo, los vectores son
(8, -4 y (1,2)
Y el producto escalar es
(8, -4)·(1,2) = 8·1 - 4·2 = 8 - 8 = 0
Luego son perpendiculares.
Y eso es todo.
Buenos días experto a mi me sale:
Sea y = mx + n
(-2,1) 1 = -2 m + n
(6,-3) -3 = 6 m + n
De ahí saco la pendiente que me da - 1/2 y compruebo con la recta y = 2x - 5 que son perpendiculares y en este caso sí, porque tengo en la recta y = 2x - 5 la m = 2.
Luego:
y = -1/2 x + n de donde al sustituir el punto (-2,1) me sale de recta y = -1/2 x.
Y con las rectas :
y = -1/2 x
y = 2x - 5
me da de puntos de intersección ( 2,-1).
Está bien de esta forma?, gracias.
¡Ah perdona! Me perdí con las explicaciones del producto escalar y me olvidé que también te pedían el punto de intersección.
El hecho de que el producto de las pendientes de rectas perpendiculares sea -1 es una consecuencia del producto escalar.
Si r1 tiene pendiente m1 su vector director es (1, m1) y r2 tendrá (1, m2)
Entonces el producto escalar es
(1, m1)·(1,m2) = 1+m1·m2
Y si son perpendiculares debe valer 0
1+m1·m2 = 0
m1·m2 = -1
Cualquiera de las dos formas sirve, hacer 0 el producto escalar de los vectores o hacer -1 el producto de las pendientes. Es incluso más general el método de los vectores ya que con las pendientes no funciona para las rectas y=a; x=b donde la segunda no tiene pendiente.
Luego tienes bien hecho lo de demostrar que son perpendiculares.
Con mi método la continuación habría sido:
Una vez conocemos el vector (8,-4) hallamos la ecuación de la recta por la fórmula
(x-x1)/vx = (y-x1)/vy
Incluso si queremos podemos simplificar el vector a (2, -1)
(x+2)/2 = (y-1) /(-1)
y-1 = -x/2 -1
y = -x/2
Y se calcula la intersección con
y=2x-5
se igualan las ecuaciones
-x/2 = 2x-5
-x = 4x -10
-5x = -10
x = 2
y = -2/2 = -1
Luego la intersección es el punto
(2, -1)
Y eso es todo, parece muy aparatoso pero sin explicaciones ocupa poco.
Resumiendo, lo tienes bien. Debes hacerlo por el método que te han enseñado en clase ya que al profesor puede no gustarle. Aun recuerdo un mal profesor de Física que tuve que me puntúo 0 un problema de plano inclinado que valía 2 de los 10 puntos porque se me ocurrió que si un punto estaba en la mitad del plano en horizontal también estaría a la mitad de la altura en vez de usar fórmulas con el seno que llevaban a lo mismo pero haciendo más cuentas. Bien, pues pese a contar con el apoyo del profesor de matemáticas no se hechó atrás, me tenía manía y tuve que ir a la universidad con un promedio más bajo del que tenía.
Pues mirá voy a vengarme ahora que puedo y no nos oye nadie:
Ese personaje era el hermano Alejandro (Alex), profesor de Física del colegio La Salle Granvía de Zaragoza, año 1980. Es que no lo olvidaré nunca.
¡Qué a gusto me he quedado!
Por cierto, recuerdos muy gratos al hermano Juanjo, el profesor de Matemáticas.
