Rectas y área de un triángulo
Hola experto aquí estoy otra vez para pedirle que me haga el favor de corregir el siguiente ejercicio:
Considera la recta r de ecuación y = 3x-2 y los puntos A (2,7) y B (0,1).
1) Prueba que la recta que pasa por los puntos A y B es paralela a r.
2) Halla el área de un triángulo ABC, sabiendo que el punto C está situado sobre la recta r.
Lo he hecho así:
y = mx - n
El vector director AB = (-2,-6)
m = -6 / -2 = 3.
Con el punto A (2,7), por ejemplo, tenemos :
y = mx - n de donde 7= 3 *2 + n dando que n = 1 teniendo la recta : y = 3x +1
Entonces son paralelas porque:
$$\frac {A}{A´}=\frac{B}{B´}\not=\frac{C}{C´}$$2) Para hallar la base :
$$D(A,B) = \sqrt{(0-2)^2+(1-7)^2}= \sqrt40$$La altura la he calculado:
A la recta y = 3x-2 le doy un valor cualquiera de x , ejemplo el 1 y me daría un valor de
y=1 y tengo un punto C(1,1). Entonces con el punto C y la recta y = 3x + 1 calculo la distancia de un punto a una recta y así saco la altura:
D(C,RECTA AB) es igual 4 dividido entra la raíz de 10.
Entonces como el área de un triángulo es base por altura dividido entre 2, me da al final 4 unidades al cuadrado.
Gracias por su atención y saludos
1 respuesta
En el punto 1 no es necesaria la cuenta final:
Una vez hallado el vector AB = (-2,-6) hallamos la pendiente de ese vector dividiendo la coordenada y entre la x
p = -6/-2 = 3
Y este 3 coincide con la pendiente de recta que es m=3 luego vector y recta son paralelos.
En el punto 2 no hace falta que calcules ningún punto. Tienes los puntos A y B la distancia de cualquiera de ellos a la recta r te dará la distancia que es la altura. Tomamos por ejemplo B(0,1).
La recta r es
y = 3x-2
que ponemos con su ecuación general
3x-y-2=0
d(B,r) = |3·0-1-2| / sqrt(9+1) = 3/sqrt(10)
área = sqrt(40)[3/sqrt(10)] / 2 =2sqrt(10)[3/sqrt(10)]/2 = 3 u^2
Tu lo has hecho calculando la distancia de un punto C(1,1) de r a la recta de AB, tiene que dar lo mismo, pero te equivocaste en las cuentas.
La recta AB es
y=3x+1
en forma general
3x-y+1=0
d(C, RECTA AB) = |3·1-1+1| / sqrt (10) = 3/sqrt(10)
En lugar de 4/sqrt(10) que te había salido.
Luego el sistema que has usado está bien pero se puede simplificar un poco y tuviste un fallo que no se si es de cuentas o de concepto porque no has escrito como calculaste la distancia del punto a la recta.
Y eso es todo.
