Calcular matriz p de cambio de base formada por vectores propios

Los valores propios ya los calculé en el ejercicio que te mandé antes, eran 1.15 y 0.5

Sea A la matriz y t un valor propio y v su vector propio asociado

Por definición

Av = tv

(A-tI)v = 0

Esto es una ecuación lineal que nos permitirá despejar v

Sea v = (x,y)

(0.70 -1.15)x +0.30y = 0

0.30x + (0.95 -1.15)y = 0

-0.45x + 0.30y = 0

0.30x - 0.20y = 0

Puedes ver que son proporcionales y solo sirve una, lo cual es lógico porque los valores propios hacían que el determinante de esta matriz fuera cero

Demos un valor cualquiera a x por ejemplo x= 1

-0.45 + 0,30 y = 0

0.30y = 0.45

y = 0.45/0.30 = 1.5

Luego el vector propio asociado a 1.15 es (1, 1.5) o como se suele expresar mejor

(1, 3/2)

y como sirve cualquier vector proporcional tomamos

(2, 3)

Para el valor propio 0.65 hacemos lo mismo. Ya sabemos que solo nos servirá una de las dos ecuaciones, la primera

(0.70-0.5)x +0.30y = 0

0.2x + 0.3y = 0

Damos a x el valor 1

0.2 + 0.3y = 0

0.3y = -0.2

y = 0.2 / 0.3 = -2/3

el vector (1, -2/3) lo arreglamos multiplicando por 3

(3,-2)

Luego los vectores propios son (2,3) y (3,2)

Y la matriz del cambio de base es

$$P=\begin{pmatrix}
2&3\\
3&-2
\end{pmatrix}$$

Se puede comprobar que que P^-1·A·P = D

Y eso es todo.