Dada la función de dos variables f(por,y)=(por+1)*2 + y*4 - 33y. Determinar los óptimos locales

Creo que has puesto el asterisco como exponente. El asterisco es multiplicación en todos los lenguajes, programas de cálculo y gráficas. El símbolo de la potenciación es ^. Si acaso creo que en algún lenguaje se usaban dos asteriscos seguidos como potenciación. La función sería:

f(x,y) = (x+1)^2 + y^4 - 33y

Primero debemos hallar los puntos que anulan las dos derivadas parciales.

fx(x,y) = 2(x+1) = 0

x+1= 0

x = 1

fy(x,y) = 4y^3 - 33= 0

4y^3 = 33

y^3 = 33/4

y = (33/4)^(1/3)

Luego el punto crítico es (0, (33/4)^(1/3))

Para saber si es máximo, mínimo u otra cosa calculamos el Hessiano en ese punto

fxx(x,y) = 2

fxy(x,y) = 0

fyy(x,y) = 12y^2

El Hessiano es:

$$\begin{pmatrix}
2&0\\
0&12·\left(\frac{33}{4}\right)^{2/3}
\end{pmatrix}$$

que es claramente definido positivo porque los dos menores principales son positivos.

Luego el punto es un mínimo.

Y eso es todo.