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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Confírmame si la función es esta. Porque es algo complicada de derivar, no sea que hayas querido poner otra cosa
$$y = x^{\sqrt x}$$de palabra sería x elevado a la raíz de x.
/ de palabra sería x elevado a la raíz de x /
si es esa, si es muy complicada de realizar y te saco mucho tiempo no lo hagas no hay drama :D.
Para calcular esa derivada hay que emplear una técnica que se llama derivación logarítmica.
$$\begin{align}&y = f(x)^{g(x)}\\ &\\ &\text{tomamos logaritmos neperianos}\\ &\\ &ln\,y = g(x)ln[f(x)]\\ &\\ &\text{y ahora derivamos}\\ &\\ &\frac{y´}{y}=g´(x)ln[f(x)]+g(x)\frac{f´(x)}{f(x)}\\ &\\ &\text{Y ahora despejamos y´}\\ &\\ &y´= y\left( g´(x)ln[f(x)]+g(x)\frac{f´(x)}{f(x)} \right)=\\ &\\ &f(x)^{g(x)}\left( g´(x)ln[f(x)]+g(x)\frac{f´(x)}{f(x)} \right)\end{align}$$En vez de poner ahora aquí los valores de f y g lo que haremos es hacer el proceso para la función que tenemos ya que el resultado es imposible de memorizar mientras que el proceso si es fácil recordarlo.
$$\begin{align}&y = x^{\sqrt x}\\ &\\ &ln \,y = \sqrt x·lnx\\ &\\ &\frac{y´}{y}= \frac{1}{2 \sqrt x}·lnx + \sqrt x·\frac 1x=\\ &\\ &\frac {lnx}{2 \sqrt x}+\frac{1}{\sqrt x}=\frac{lnx +2}{2 \sqrt x}\\ &\\ &\\ &y´=x^{\sqrt x}\left(\frac{lnx +2}{2 \sqrt x}\right)\\ &\\ &\\ &\text{La derivada en x=2 es}\\ &\\ &f´(2)=2^{\sqrt 2}\left(\frac{ln2 +2}{2 \sqrt 2}\right)\\ &\\ &\text {Y la recta tangente en un punto }x_0\text{es}\\ &\\ &y=f(x_0)+f´(x_0)(x-x_0)\\ &\\ &y = 2^{\sqrt 2}+ 2^{\sqrt 2}\left(\frac{ln2 +2}{2 \sqrt 2}\right)(x-2)\end{align}$$Y eso es todo.
Respuesta de laurapau123
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Ya atuiendo tu pregunta