Hola, como estás? Estadística / Varianza

Primero calculamos la media y desviación de la muestra.

La media es muy sencilla, se suman los 10 valores de la muestra y se divide entre 10

media = 103/10 = 10.3

La desviación muestral es otra cosa. Si hay algo que detesto yo es usar la fórmula de la varianza muestral

S^2 = [Sumatorio (X-media)^2] / (n-1)

Son demasiadas pulsaciones para la calculadora, solo faltaría que la media tuviera varios decimales.

Entonces uso lo siguiente: sabemos por teoría que la varianza población es esta

V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Esto se calcula con menos pulsaciones de calculadora ya que la suma fuerte solo tiene los cuadrados sin restar ninguna media ni nada

Y después de calculado eso se calcula de varianza muestral así

S^2 = V(X) · n / (n-1)

y finalmente la desviación muestral es la raíz cuadrada

S = sqrt(S^2)

Vamos a hacerlo. La suma de los cuadrados de los valores es 1092.12

Luego E(X^2) = 1092.12 / 10 = 109.212

V(X) = 109.212 - 10.3^2 = 109.212 - 106.09 = 3.122

S^2 = 3.122 · 10 / 9 = 3.468888888

S = sqrt(3.46888888) = 1.862495339

Ya tenemos los datos necesarios para hacer la prueba de hipótesis

Ho: media = 12

Ha: media < 12

Solo hay una cola a la izquierda, luego todo el 0.04 de significancia va a la parte izquierda. Habrá rechazo si el valor tiene probabilidad inferior a 0.04.

Debemos calcular el coeficiente de confianza de de una probabilidad 0.04. Como en la tabla solo salen las probabilidades mayores de 0.5 buscamos el valor que da 0.96 y el que buscamos será el valor opuesto

Tenemos

Tabla(1.75) = 0.9599

Tabla(1.76) = 0.9608

De 9 partes que es la diferencia en diezmilésimas hay que sumar 1 para llegar a 0.9600, luego

P[1.75 + (1/9)(0.01)] = P(1.751111..) = 0.9600

Y el valor cuya probabilidad es 0.04 es el opuesto

P(-1.751111..) = 0.04

Luego -1.75111... es el p-valor

Veamos cual es el valor de z correspondiente de la muestra tomada

$$\begin{align}&z=\frac{X-\overline x}{S_{\overline x}}=\frac{X-\overline x}{\frac{S}{\sqrt n}}=\\ &\\ &\frac{10.3-12}{\frac{1.862495339}{\sqrt {10}}}=-\frac{1.7 \sqrt {10}}{1.862495339}=- 2.88681463\end{align}$$

Es menor, luego está a la derecha, en la zona cuya probabilidad de suceder es menor que 0.04, luego la prueba sirve para rechazar H0 y podemos afirmar que el rendimiento promedio hga disminuido.

Y eso es todo.