El método de Newton

Para saber el número de raíces del intervalo usaré la regla de Descartes que dice:

El número de raíces reales positivas de una ecuación polinómica con coeficientes reales igualada a cero es, como mucho, igual al número de cambios de signo que se produzcan entre sus coeficientes (obviamos los ceros).

Dice incluso más:

Si la cota no se alcanza, entonces el número de raíces positivas de la ecuación difiere de ella un múltiplo de dos.

Regla de los signos

En nuestra ecuación:

x^3 -2x² - 5 = 0

Solo hay un cambio de signo entre el 1 y el -2, luego tendrá a lo sumo 1 raíz positiva, pero si no tuviera una tendrá -1, -3, lo cual es absurdo, luego tiene una única raíz positiva.

Vamos a comprobar si se encuentra en el intervalo [1, 4] como dicen

f(1)= 1 -2 -5 = -6

f(4) = 64 - 32 - 5 = 27

Hay signo distinto, luego hay una raíz en el intervalo.

Vamos a darle una aproximación inicial proporcional a la distancia a los extremos

El incremento de la función es 33 y el incremento hasta 0 es 6, luego tomamos 6/33 de la longitud del intervalo

(6/33) de 3 = 18/33 = 0.5454...

Luego tomaremos como respuesta inicial 1+0.5454... = 1.5455

Que ya sabes que el método de Newton puede diverger si no se toma una respuesta inicial próxima a la respuesta real.

Y ahora vamos a hacer iteraciones con la fórmula

$$\begin{align}&x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\\ &\\ &\\ &f(x)=x^3-2x^2-5\\ &f'(x) = 3x^2-4x\\ &\\ &x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3-2x_n^2-5}{3x_n^2-4x_n}\\ &\\ &\\ &x_0=1.5455\\ &\\ &x_1=1.5455-\frac{1.5455^3-2·1.5455^2-5}{3·1.5455^2-4·1.5455}= 4.613288577\\ &\\ &\\ &x_2 =4.613288577 - \frac{···-···-5}{···-···}=3.567353368\\ &\\ &x_3 = 3.011912154\\ &\\ &x_4 = 2.781844876\\ &\\ &x_5 = 2.712227274\\ &\\ &x_6 = 2.695400543\\ &\\ &x_7 = 2.691674758\\ &\\ &x_8 = 2.690868539\\ &\\ &x_9 = 2.690694986\\ &\\ &x_{10} = 2.690657667\\ &\\ &x_{11} = 2.690649645\\ &\\ &x_{12} = 2.69064792\\ &\\ &x_{13} = 2.69064755\\ &\\ &x_{14} = 2.69064747\\ &\\ &x_{15} = 2.690647453\\ &\\ &x_{16} = 2.690647449\\ &\\ &x_{17} = 2.690647448\\ &\\ &x_{18} = 2.690647448\end{align}$$

Y tenemos la respuesta con 9 decimales exactos. Si solo hubiéramos querido 3 en la iteración 8 ya salían los que son y con un par o alguno más ya se podría estar seguro que eran inamovibles.

Y eso es todo.