¿Qué tan rapido cambia la distancia entre las puntas de las manecillas cuando es la 1pm?

Si, el teorema de los cosenos es el adecuado para este problema, ya que te da la distancia entre las puntas de las dos agujas.

El teorema aplicado aquí te dirá

d^2 = 18^2 + 4^2 - 2·18·4·cosx

d^2 = 340 - 144cosx

X es angulo de las agujas y d una función de x

Para calcular la rapidez de la distancia tenemos que poner d en función del tiempo

En el instante 0 que será a la una en angulo es 30º= Pi/6

En el instante t con t pequeño y medido en horas por ejemplo, la aguja del minutero habrá avanzado un ángulo 2Pi·t mientras que la de las horas habrá avanzado 2Pi·t/12 = Pi·t/6

el nuevo ángulo será Pi/6 - 2Pi·t +Pi·t/6 = (Pi/6)(1-12t+t) = (Pi/6)(1-11t)

Luego la función d será

$$\begin{align}&d(t) = \sqrt{340 - 144cos[(\pi/6)(1-11t)]}\\ &\\ &\\ &\\ &d´(t)=\frac{+144sen[(\pi/6)(1-11t)](-11\pi/6)}{2 \sqrt{340 + 144cos[(\pi/6)(1-11t)]}}\\ &\\ &=\frac{-132sen[(\pi/6)(1-11t)]}{\sqrt{340 + 144cos[(\pi/6)(1-11t)]}}\\ &\\ &\\ &\text{Y la deriva que piden es cuando t=0}\\ &\\ &d´(0) =\frac{-132sen(\pi/6)}{\sqrt{340+144cos(\pi/6)}}=\\ &\\ &\frac{-64}{\sqrt{340-\frac{144 \sqrt 3}{2}}}=\frac{-64 \sqrt 2}{\sqrt{680-144 \sqrt 3}}=\\ &\\ &\frac{-32 \sqrt 2}{\sqrt{170-36 \sqrt 3}}\approx -4.361799346 \;mm/h\\ &\end{align}$$

Y eso es todo.

Disculpe pero no entendí por que

"el nuevo ángulo será Pi/6 - 2Pi·t +Pi·t/6 = (Pi/6)(1-12t+t) = (Pi/6)(1-11t)"

como yo lo había pensado era la resta entre los dos ángulos pero por que lo plantea restando uno a pi/6 y el otro sumando?

El ángulo inicial es Pi/6 hay que sumarle el ángulo que avance la aguja de que las horas y restarle el que avance la aguja de los minutos.

Luego el ángulo nuevo en el instante t es

Pi/6 + Pi·t/6 - 2Pi·t

Tu seguramente lo harás como resta porque tomas el ángulo Pi/6+Pi·t/6 de la aguja de las horas respecto de las 12 y 2Pi·t como ángulo de los minutos, respecto las 12 también. Mientras que yo lo he planteado como un ángulo inicial que avanza por e lado de las horas mientras se le comen terreno por el otro. La cuenta final tiene que ser la misma en los dos casos.

Discúlpeme en serio pero aun me pregunto a que se refiere con el angulo inicial sea pi/6 me explico: yo entiendo que a la 1 el palito de las horas este en pi/6, por lo que la función de este esté dada en Pi·t/6 pi(1)/6 = pi/6 pi(2)/6=pi/3.... y así y que el minutero se maneje 2Pi·t 2pi(1)=2pi 2pi(2)=4pi y que ese 4Pi represente 2 vueltas. mi problema esta en la suma y la resta a pi/6

Pi/6 - 2Pi·t +Pi·t/6

mirando por ej a las 12 PI/6- 2Pi(12)+Pi(12)/6= -131Pi/6

y en este caso el angulo seria 0

Intente sacarle el cos y el de 131Pi/6 da raíz de 3 sobre 2 mientras que pues el cos en 0 es 1

también queria preguntarle por que al simplificar la derivada retira el pi que acompañaba (-11p/6)

Disculpe mi insistencia

realmente agradezco su ayuda

No tengo tiempo ahora. Simplemente alguna cosa. El Pi me lo comí, simplifique bien el resto pero se me olvido dejarlo. Luego la respuesta final estará multiplicada por Pi.

Sobre la forma de medir el ángulo creo que no vamos a llegar a un acuerdo, porque cuando uno se empeña en que hay que medirlo de una forma no entiende que se pueda medir de otra.

Yo te digo que el angulo que forman las agujas en el instante t horas es

(Pi/6)(1-11t)

Y la fórmula esta sirve para pequeñas variaciones de tiempo, cuando el minutero pase a la aguja de las horas me da lo mismo lo que valga la función, estamos calculando la derivada en el instante inicial y solo necesito saber cual va a ser el ángulo de las agujas una mil millonesisma de una mil millonésima de segundo después.

Aparte para mí el tiempo cero es la una, mientras que me parece que tu lo tomas el tiempo como la hora que es.

¿Por qué no me dices cuál es la función del ángulo que tu tienes para un instante determinado? Y así las comparamos.

Claro yo no le entendí bien y pensaba que usted tomaba la 1pm como si fuese t=1 y no a cero

la formula que yo planteaba era el angulo que formaba el minutero con la linea de las 12 menos el angulo que formaba el palito de las horas con las 12.

No me malinterprete no es terquedad simplemente no entiendo.

Disculpe que le quite tanto tiempo