Como resuelvo esta ecuación diferencial: d^2R/dr^2+(1/r)dR/dr+µ^2R=0.

No hay funciones normales que satisfagan esa ecuación diferencial. Es por ello que se crearon unas funciones especiales llamadas funciones de Bessel.

Wikipedia, funciones de Bessel

La forma canónica de tu ecuacion se obtine multiplicando por r^2

$$r^2 \frac{d^2R}{dr^2}+r \frac{dR}{dr}+(\mu^2r^2-0^2)y=0$$

Y haciendo un cambio de variable

$$\begin{align}&t=\mu r\\ &\frac{dR}{dr}=\frac {dR}{dt}·\frac{dt}{dr}=\mu \frac{dR}{dt}\\ &\\ &\frac{d^2R}{dr^2}=\frac{d\left(\mu \frac{dR}{dt}\right)}{dr}=\mu \frac{d\left(\frac{dR}{dt}\right)}{dt}\frac{dt}{dr}=\mu \frac{d^2R}{dt^2}\mu=\mu^2 \frac{d^2R}{dt^2}\\ &\\ &\text {y queda esta ecuación}\\ &\\ &\left(\frac t\mu\right)^2 \mu^2 \frac{d^2R}{dr^2}+\frac t \mu \mu \frac{dR}{dr}+(t^2-0^2)y=0\\ &\\ &\\ &t^2 \frac{d^2R}{dr^2}+t \frac{dR}{dr}+(t^2-0^2)y=0\\ &\\ &\\ &\text{Luego es una Bessel de t, }\text{siendo } t=\mu r\\ &\end{align}$$

Y la solución de la ecuación diferencial es una combinación lineal de las funciones de Bessel de primera y segunda especia, es

$$R(r) = c_1 J_0(\mu r)+c_2 Y_0(\mu r)$$

Y eso es todo.

Hola !! Muchas graCias Hoy voy a DediCarme A TrAtar De ResolvEr

Saludos

Me lie en un nombre de variable, a lo mejor ya te diste cuenta. Puse y en lugar de la R de tu ecuación ya que en la teoría que estaba mirando se usaban las variables x, y.

Lo correcto es:

Tras multiplicar por r^2

$$r^2 \frac{d^2R}{dr^2}+r \frac{dR}{dr}+(\mu^2r^2-0^2)R=0$$

Y tras el cambio de variable hay que corregir estas dos líneas

$$\begin{align}&\left(\frac t\mu\right)^2 \mu^2 \frac{d^2R}{dr^2}+\frac t \mu \mu \frac{dR}{dr}+(t^2-0^2)R=0\\ &\\ &\\ &t^2 \frac{d^2R}{dr^2}+t \frac{dR}{dr}+(t^2-0^2)R=0\end{align}$$

Y lo demás es igual que estaba.

Si no entendiste algo pregúntame. Y si ya está bien, no olvides puntuar.

no entendí el cambio de variable, disculpa si esto parece algo obvio pero no lo alcanzo a ver.

$$t=µr$$