Ejercicio de geometría analítica

a)

La ecuación canónica de una circunferencia es

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Donde (a, b) es el centro y r el radio.

Luego la ecuación de esa circunferencia es

(x-3)^2 + (y-4)^2 = 2^2

(x-3)^2 + (y-4)^2 = 4

Y lo mejor sería dejarla así, es la forma más clara de ecuación. Pero los profesores siempre quieren que hagas más cuentas, así que haremos las operaciones.

x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y +16 = 4

x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 4

x^2 + y^2 - 6x - 8y +21 = 0

b)

x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0

El procedimiento se llama completar cuadrados. Si te fijas, operando en la ecuación

canónica

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 - r^2 = 0

x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2- r^2 = 0

y comparando las ecuaciones tendremos

-2a = -2 ==> a = 1

-2b = 4 ==> b = -2

a^2 + b^2 - r^2 = -4 ==> 1 + 4 - r^2 = -4 ==> 9 = r^2 ==> r = 3

Luego el centro es (1, -2) y el radio 3

En la práctica no suelen plantearse las ecuaciones tal como he hecho, sino que se opera así:

Tenemos x^2-2x,

Para que el cuadrado del binomio nos de eso debe ser (x-1)^2

Pero no podemos sustituirlo tal cual porque el cuadrado del binomio tiene al final el termino 1^2, entonces lo sustituimos x^2-2x por el binomio pero le restamos 1, la ecuación se va transformando en

(x-1)^2 - 1 + ....

Ahora hacemos lo mismo con la y:

para obtener y^+4y el binomio debe ser (y+2)^2, pero añadiríamos 2^2=4 de más, luego lo restamos, asi que la ecuación quedará

(x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 + ....

Y ya solo queda añadir lo que falta de la original

(x-1)^2 - 1 + (y+2)^2 - 4 - 4 = 0

(x-1)^2 + (y+2)^2 = 9

Y eso es la ecuación canónica, de donde se deduce

centro = (1, -2)

radio = raíz de 9 = 3

Y eso es todo.