Funciones Racionales en Matemáticas

a) f(x) = (2x-1)/(x-4)

El dominio es todo R salvo las raíces del denominador

Dom f = R - {4}

El rango es el dominio de la función inversa, vamos a calcularla.

y = (2x-1) / (x-4)

y(x-4) = 2x-1

yx - 4y = 2x - 1

yx - 2x = 4y-1

(y-2)x = 4y-1

x = (4y-1) / (y-2)

Y el dominio de la inversa es R - {2}

Luego Rango f = R- {2}

Con intervalos supongo que te referirás a los que es positiva y negativa. Ya que también hay intervalos de crecimiento y decrecimiento y de concavidad y convexidad pero a lo mejor eso no lo has dado todavía.

El signo de la función racional se evalúa con la regla de los signos, si el numerador y denominador tienen el mismo signo resulta positivo y si tienen signo distinto es negativo.

El numerador sera mayor que cero cuando

2x-1 > 0

2x>1

x>1/2

Y el denominador cuando

x-4>0

x>4

Se forman estos tres intervalos

(-Infinito, 1/2) numerador y denominador negativos, luego resultado positivo

(1/2, 4) numerador positivo y denominador negativo luego resultado negativo

(4, infinito) ambos son positivos, luego el resultado es positivo

b)

y = 2 / (x^2-4)

El dominio es todo R salvo los ceros del denominador

x^2 - 4 = 0

x^2 = 4

x = -2 y 2

Dom f = R - {-2, 2}

Y el rango es el dominio de la función inversa

y = 2 / (x^2-4)

(x^2-4) y = 2

x^2 - 4 = 2/y

x^2 = 2/y - 4

x = sqrt[(2/y - 4]

donde sqrt es la raíz cuadrada

Para que este definida debe ser y distinto de 0 y además el radicando debe ser positivo

2/y - 4 >= 0

2/y >= 4

2/4 >= y

y < 1/2

Luego Rango f = (-infinito, 0) U (0, 1/2]

Y el signo depende solo del denominador. Ya sabemos que el denominador vale 0 en -2 y 2 veamos los signos de los intervalos que se forman tomando un representante en cada intervalo

(-oo, -2) por ej. x=-3 ==> (-3)^2-4 = 9-4=5 el signo es positivo

(-2, 2) por ej x=0 ==> 0^- 4 = -4 el signo es negativo

(2, oo) por el x=3 ==> 3^2 - 4 = 5 el signo es positivo.

Y eso es todo.