Pero es que este problema es muy complicado, es de nivel universitario cuanto menos. ¿Cómo te ha surgido después de 20 años sin estudiar? ¿Es tuyo o es para tus hijos?
Bueno, en realidad el apartado creo que ya estaba empezado, se me debió olvidar poner donde. Simplemente voy a terminar.
Ya habíamos hallado los puntos A, B, C, D, E y F
La recta CF es y=7
Las rectas AD y BE tienen dos pares de puntos simétricos entre sí al eje y=7, luego son simétricas respecto a ese eje y se cortaran en él. AUnque tampoco cuesta mucho comprobarlo
Analíticamente.
Lo que nos piden es demostrar que el punto de Brianchon es el (4,7).
Obviamente está en la recta CF: y=7
La recta AD evaluada en (4,7) será
$$\begin{align}&\frac{4+8-4 \sqrt 6}{\frac{44-6 \sqrt 6}{5}+8-4 \sqrt 6}=\frac{7-\frac{29+9 \sqrt 6}{5}}{\frac{166-24 \sqrt 6}{25}-\frac{29+9 \sqrt 6}{5}}\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{5(12-4 \sqrt 6)}{84-26 \sqrt 6}=\frac{5(6-9 \sqrt 6)}{21-69 \sqrt 6}\\ &\\ &\\ &(12-4 \sqrt 6)(21-69 \sqrt 6)=(84-26 \sqrt 6)(6-9 \sqrt 6)\\ &\\ &12·21+4·6·69-(12·69+4·21)\sqrt 6 =\\ &84·6+26·6·9-(84·9+26·6)\sqrt 6\\ &\\ &1908-912 \sqrt 6 = 1908 -912 \sqrt 6\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$
Luego (4,7) es el punto de intersección de CF con AD
Y lo que decía antes, por ser AD y BE simétricas respecto a CF se cortan en el, luego se cortan en (4,7). Y si no lo crees puedes hacer la comprobación de arriba con los la recta BE
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. He hecho todo el problema con los números reales, tal vez con los decimales habría sido más sencillo, pero no es muy matemático usarlos y puede crear incertidumbre cuando no son exactos.
Espero que te sirva y lo hayas entendido. Lo he contestado pronto porque tenía adelantado el trabajo y solo ha sido pegarlo. Pues me alegro que me hagas nuevas consultas, pero problemas como este no por favor. El teorema de Brianchon tiene su demostración sencilla en geometría proyectiva, intentar demostrarlo con geometría analítica es un martirio. Y el editor de ecuaciones de esta página no tiene nombre, solo sirve para escribir una o dos fórmulas, pero para hacer desarrollos largos es mortal.