Demostrar la sig. Identidad
hay que demostrar la siguiente identidad.
$$\cos(\frac{x}{2})=\sqrt\frac{1+cosx}{2}$$y
$$sen(\frac{x}{2})=\sqrt\frac{1-cosx}{2}$$para todo
$$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Partimos de la primera fórmula que se enseña sobre funciones trigonométricas de la suma de ángulos
$$\begin{align}&\cos(a+b)=cosa·cosb - sena·senb\\ &\\ &Si\; b=a\; \implies\\ &\\ &\cos 2a = \cos^2a-sen^2a\\ &\\ &\text{Sumando 1 en cada lado}\\ &\\ &1+\cos 2a = \cos^2a+1-sen^2a\\ &\\ &\text{por la igualdad fundamental}\\ &\\ &1+\cos 2a =\cos^2 a+\cos^2a=2cos^2a\\ &\\ &\frac{1+\cos 2a}{2}=\cos^2 a\\ &\\ &\cos a= \sqrt{\frac{1+\cos 2a}{2}}\\ &\\ &\text{Y si en lugar de a ponemos }\frac x2\\ &\\ &\cos \frac x2=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\text {y ahora} \\ &\\ &sen\,\frac x2=\sqrt{1-\cos^2 \frac x2}=\sqrt{1-\frac{1+cosx}{2}}=\\ &\\ &\\ &\sqrt{\frac{2-1-cosx}{2}}=\sqrt{\frac{1-cosx}{2}}\end{align}$$No hay ningún problema con los signos, los que hemos puesto son los que corresponden ya que nos pedían demostrarlo solo para el primer cuadrante donde tanto el seno como el coseno son positivos.
Y eso es todo.
