Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos

Calcularemos el centro como el punto equidistante de los tres

$$\begin{align}&\sqrt{(x-4)^2+(y-5)^2}=\\ &\sqrt{(x-3)^2+(y+2)^2}=\\ &\sqrt{(x-1)^2+(y+4)^2}\\ &\\ &\text{elevando al cuiadrado}\\ &\\ &(x-4)^2+(y-5)^2=\\ &(x-3)^2+(y+2)^2=\\ &(x-1)^2+(y+4)^2\\ &\\ &\text{Operando}\\ &x^2-8x +16 + y^2-10y+25=\\ &x^2-6x+9+y^2+4y+4=\\ &x^2-2x+1+y^2+8y+16\\ &\\ &\text{Simplificando las }x^2,\;y^2\text{ y término libre}\\ &\\ &-8x-10y+41=-6x+4y+13=-2x+8y+17\end{align}$$

De esta triple igualdad podemos obtener dos ecuaciones, por ejemplo

1) -8x - 10y + 41 = -6x + 4y + 13 ==> -2x - 14y + 28 = 0 ==> x + 7y - 14 = 0

2) -6x + 4y +13 = -2x + 8y +17 ==> -4x - 4y - 4 = 0 ==> -x - y - 1 = 0

Si sumamos las versiones de más a la derecha tendremos

6y -15 = 0

6y = 15

y = 5/2

calculamos x

-x - 5/2 - 1 = 0

-x -7/2 = 0

-x = 7/2

x = -7/2

Luego el centro es (-7/2, 5/2)

Y ahora calculamos el radio calculando la distancia del centro a uno cualquiera de los puntos. O mejor aún, no nos hace falta calcular el radio, nos sirve el radio al cuadrado, luego quitamos la raíz cuadrada de la fórmula de la distancia

R^2 = (-7/2 - 4)^2 + (5/2 - 5)^2 = (15/2)^2 + (5/2)^2 = 225/4 + 25/4 = 250/4 = 125/2

Y la ecuación de la circunferencia es

(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2

luego es

(x + 7/2)^2 + (y - 5/2)^2 = 125/2

Como el proceso ha sido largo vamos a comprobar que está bien probando que los tres puntos cumplen la ecuación, lo haré rapidito

El punto (4,5) ==> (4 + 7/2)^2 + (5 - 5/2)^2 = 225/4 + 25/4 = 125/2

El punto (3, -2) ==> (3 + 7/2)^2 + (-2 - 5/2)^2 = 169/4 + 81/4 = 125/2

El punto (1, -4) ==> (1 + 7/2)^2 + (-4 - 5/2)^2 = 81/4 +169/4 = 125/3

En cada pregunta debe ir un solo ejercicio, y más si tienen complicación. SI quieres que haga el otro mándalo en otra pregunta.