¿Calculo Integral..el área

Se hace un pequeño bosquejo y se ve que la figura se forma entre el punto 0 y pi/3 de la curva.

$$\begin{align}&A=\int_0^{\pi/3}tgxdx =\int_0^{\pi/3}\frac{senx}{cosx}dx\\ &\\ &\\ &t=cosx\implies dt=-senxdx\\ &\\ &x=0\implies t=1\\ &x=\pi/3\implies t=\frac 12\\ &\\ &A=-\int_1^{\frac 12}\frac{dt}{t}=- \left[lnt\right]_1^{1/2}=\\ &\\ &-ln \frac 12+ln1 =-ln \frac 12=ln2\approx 0.6931471806\end{align}$$

Y eso es todo.