¿Cómo se hace este ejercicio de optimización?por favor es urgente

Pondremos el vértice en el punto alto de la esfera. Entonces la altura de la pirámide determinará un plano perpendicular que cortará a la esfera en un circunferencia y la base de la pirámide será el cuadrado inscrito en esa circunferencia

Se puede calcular el radio de esa circunferencia de esta forma. Cuando la altura sea 0 la circunferencia es cero. Conforme aumentamos la altura la circunferencia aumenta hasta llegar a la mitad de la esfera y luego decrece.

Si hacemos una toma frontal la proyección es una circunferencia y el plano de la base es una cuerda que empieza arriba y va bajando conforme aumenta la altura.

Esa cuerda determina un ángulo con el centro de la circunferencia, si tomamos la mitad derecha de ese ángulo (o la izquierda) y lo llamamos t veremos que:

la altura es h=R(1-cost) y

La mitad de la cuerda que es el radio del corte con la esfera es s=R·sent

Una vez tenemos el radio de la circunferencia que hace de base calculamos el lado de la base de la pirámide que es el cuadrado inscrito.

Puesto el lado mitad arriba y mitad abajo del eje X tenemos que la mitad del lado será

s·Sen45%

Luego el lado mide

$$\begin{align}&l=s \sqrt 2= R \sqrt 2 sen\, t\\ &\\ &\text{Y el volumen de la pirámide será:}\\ &\\ &V(t)=\frac 13 l^2h = \\ &\\ &\frac 13 R^2·2·sen^2t·R(1-cost)=\\ &\\ &\frac{2R^3}{3}sen^2t(1-cost)\\ &\\ &\\ &\text{Derivamos para calcular el mínimo}\\ &\\ &V´(t) = \frac{2R^3}{3}[2·sent·cost(1-cost)+sen^2t·sent]= 0\\ &\\ &2cost(1-cost)+sen^2t = 0\\ &\\ &2cost - 2cos^2t + sen^2t = 0\\ &\\ &2cost -2cos^2t + 1 - \cos^2t = 0\\ &\\ &-3cos^2t +2cost +1 = 0\\ &\\ &3cos^2t-2cost -1 = 0\\ &\\ &cost = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{6}= \frac{2\pm 4}{6}=1\;y\;-1/3\end{align}$$

Si cost=1 el volumen es cero, luego es un mínimo

Si cost=-1/3 es el máximo, vamos a calcular las dimensiones.

h = R(1-cost) = R(1+1/3) = 4R/3

l = R·sqrt(2)·sent = R sqrt(2)·sqrt[1-(-1/3)^2] =

R·sqrt(2)·sqrt(8/9) = R·sqrt(16)/sqrt(9) = 4R/3

Luego tanto la altura como el lado de la pirámide miden 4R/3

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así, preguntame. Y si ya esta bien, no olvides puntuar para tener derecho a futuras consultas.