Anillo cociente y números primos

El anillo Z/mZ tiene como elementos n clases de equivalencia

Z/mZ = ({[0],[1],[2],[3],...,[m-1]}, +, ·)

donde

+ [j] = [(i+j) mod m)]

·[j] = [(ij) mod m)]

Y los divisores de cero son números distintos de cero tales que multiplicados entre si dan como resultado 0. El elemento neutro de Z/mZ es la clase del cero [0] y la clase de cero incluye 0, m, 2m, ..., km para todo k € Z

Demostración

1) divisores de cero ==> m no primo

En vez de demostrar eso demostraremos en contrarecíproco que es equivalente demostrar uno u otro. El contrarecíproco es

m primo ==> no hay divisores de 0

sea i no nulo un divisor de cero, entonces existe j tal que

·[j] = [0]

ij = km

Como m es primo será un factor primo del lado derecho, en el lado izquierdo también deberá estar ese factor primo, luego i o j deben ser múltiplos de m, pero eso no puede ser porque su valor esta comprendido entre 1 y m-1

2) m no primo ==> hay divisores de cero

Si m no es primo será producto de dos factores menores que m mayores que 1

m = i·j

[0] = [m] = [j]

Luego i y j son divisores de cero.

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer más preguntas.

Un saludo