Base ortonormal asociada a producto escalar

P2[x] es un espacio vectorial de dimensión 3, eso no creo que necesite demostración

Tomamos la base trivial

v1=1

v2=x

v3=x^2

Usaremos el método de Gram-Schmidt

el primer vector lo dejamos igual

u1 = v1 = 1

el segundo es

u2 = v2 - (<u1, v2> / <u1, u1>)u1

El producto escalar <u1, v2> es la integral de x entre -1 y 1, eso es x^2/2 entre -1 y 1 = 1/2-1/2=0

Luego no se le resta nada y queda igual

u2 = v2 = x

el tercer vector es

u3 = v3 - (<u1,v3>/<u1,u1>)u1 - (<u2,v3>/<u2,u2>)u2

<u1, v3> = integral de x^2 entre -1 y 1 = x^3 entre -1 y 1 = 1/3 + 1/3 = 2/3

<u1, u1> = integral de 1 entre -1 y 1 = x entre -1 y 1 = 1+1 = 2

(<u1,v3>/<u1,u1>)u1 = [(2/3)/2]1 = 1/3

<u2,v3> = integral de x^3 entre -1 y 1 = x^4/4 entre -1 y 1 = 1/4 - 1/4 = 0

luego es segundo termino que se resta es nulo y queda

u3= x^2 - 1/3

Los vectores obtenidos son

u1= 1

u2 = x

u3 = x^2 - 1/3

Estos vectores son ortogonales, para que sean ortonormales deben dividirse por su norma que es la raíz cuadrada del producto escalar del vector consigo mismo

integral de 1 entre -1 y 1 = x entre -1 y 1 = 1+1 = 2

||1|| = sqrt(2)

e1= 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2

integral de x^2 entre -1 y 1 = x^3/3 entre .1 y 1 = 1/3 +1/3 = 2/3

||x|| = sqrt(2/3)

e2 = x/sqrt(2/3) = sqrt(3/2)x

$$\begin{align}&\int_{-1}^1\left(x^2- \frac 13  \right)^2dx=\\ &\\ &\int_{-1}^1\left(x^4-\frac 23x^2+\frac 19\right)dx=\\ &\\ &\left[\frac{x^5}{5}-\frac{2x^3}{9}+\frac x9  \right]_{-1}^1=\\ &\\ &\frac 15- \frac 29 +\frac 19 + \frac 15 - \frac 29+\frac 19=\\ &\\ &\frac 25 -\frac 29=\frac {18-10}{45}=\frac 8{45}\end{align}$$

||x^2-1/3|| = sqrt(8/45) =

e3 = (x^2-1/3) /sqrt(8/45) = sqrt(45/8)(x^2-1/3)

Luego la base ortonormal es

B = {sqrt(2)/2, sqrt(3/2)x, sqrt(45/8)(x^2-1/3)}

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder formularme más preguntas.