Probar que pasa cualquier entero n, n^37-n es divisible por 383838

La sugerencia ha quedado mal escrita por culpa de la página pero he comprobado que

383838 = 2x3x7x13x19x37

Probablemente tengas en tu libro un teorema o una serie de ellos que hagan casi inmediata la resolución. Pero como yo no tengo tu libro y no sé que teoremas puedes usar, aunque creo que conocerás el pequeño teorema de Fermat.

http://es.wikipedia.org/wiki/Pequeño_teorema_de_Fermat

Este nos dice que:

1) Si p es primo y a natural entonces a^p == a (mod p)

2) Si p es primo y a es natural y coprimo con p entonces a^(p-1) == 1 (mod p)

Donde == significa congruente.

Vamos a demostrar que

n^37 - n == 0 (mod p) para p=2, 3, 7, 13, 19 y 37

Eso significará que n^37 - n es múltiplo de todos es esos primos y por lo tanto será múltiplo de su producto que es el número 383838

n^37- n = n(n^36 - 1)

Para cada uno de los primos del producto tomamos su valor -1, nos quedan

1, 2, 6, 12, 18 y 36

que vemos son todos divisores de 36

Las seis congruencias que tenemos que demostrar podemos ponerlas así.

n[(n^1)^36 - 1] == 0 mod 2

n[(n^2)^18 - 1] == 0 mod 3

n[(n^6)^6 - 1] == 0 mod 7

n[(n^12)^3 - 1] == 0 mod 13

n[(n^18)^2 - 1] == 0 mod 19

n[n^36 -1] == 0 mod 37

No lo he puesto de forma genérica para primos p sub i (pi) porque habría queda muy poco claro al no poder escribir aquí las cosas con exponentes a distintas alturas.

En todos ellos, si n == 0 (mod pi) se cumple la igualdad porque el factor n es un factor de la expresión y hará que el producto sea congruente con cero

Entonces quedan los casos en que n NO es congruente con 0 modulo pi.

Cada uno de estos n es coprimo con pi porque pi es primo, luego podemos aplicar el teorema de Fermat en su forma segunda forma:

n^(pi-1) == 1 (mod pi)

Y podemos elevar esto a la 36/(pi-1) que es el segundo exponente y como 1^x == 1 (mod pi) quedará en todos los casos

[n^(pi-1)]^[36/(pi-1)] == 1 (mod pi)

n^36 == 1 (mod pi)

n^36 - 1 == 0 (mod pi)

n(n^36 - 1) == 0 (mod pi)

n^37 - n == 0 (mod pi)

Y eso para pi = 2, 3, 7, 13, 19 y 37

Luego n^37 - n es múltiplo de todos ellos y es múltiplo de su producto 383838

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no, consulta lo que no entiendas.