Representación números complejos
a).- Dado el numero complejo z = -5 + yi, hallar el valor de y para que arg(z) = (2/3)pi.
b).- Hallar el conjunto omega de todos los números complejos z tales que satisfagan la relación z = valor absoluto de z.
1 respuesta
El arg de un número complejo es el ángulo con el eje OX+. Como el número complejo se representa como un punto cuyas coordenadas son la parte real e imaginaria (Re(z), Im(z))
El argumento es el arco cuya tangente es Im(z) / Re(z), todo ello maquillado después para que el ángulo sea el adecuado al cuadrante donde está z.
Entonces debe ser:
arctg[Im(z) / Re(z)] = (2/3)pi
Aplicando la función tangente en ambos lados tendremos
Im(z) / Re(z) = tg[(2/3)pi]
El ángulo (2/3)pi en grados es (2/3)·180º = 120º
está 30 grados detrás del 90º, su tangente vale
[sqrt(3)/2] / (-1/2) = -sqrt(3)
Im(z) / Re(z) = -sqrt(3)
y / -5 = - sqrt(3)
y =5·sqrt(3)
b)
Con valor absoluto imagino que te quieres referir a módulo o norma. El módulo es la distancia al origen, luego los números complejos con el mismo módulo son los que están en la circunferencia determinada por el centro en (0,0) y radio el módulo
$$\Omega_z=\left\{a+bi|a,b \in \mathbb R,\;a^2+b^2=[Re(z)]^2+[Im(z)]^2 \right\}$$Y eso es todo.
