Permutaciones con k elementos crecientes

Pues parece que lo que hay que demostrar es que si escribimos la permutación al revés el número de grupos crecientes es n-k+1

Si hay k grupos crecientes significa que hay k-1 puntos donde dos elementos consecutivos decrecen y por lo tanto habrá (n-1) - (k-1) = n-k puntos donde crecen.

Al darle la vuelta los sitios donde había crecimiento se hacen decrecientes y los decrecientes se hacen crecientes, luego después habrá n-k puntos donde decrecen, que son los puntos que separaran a los n-k+1 grupos donde hay crecimiento.

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Usaremos lo anterior para calcular la media, es decir:

a) f(n,k) = f(n+1-k)

Y como consecuencia

b) La suma de los k primeros es igual a la suma de los k últimos

$$\sum_{k=1}^if(n,k) = \sum_{k=n+1-i}^n f(n,k)$$

$$\begin{align}&\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^n kf(n,k)=\\ &\\ &\text{Si n es par}\\ &\\ &\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{n/2}(k+n+1-k)f(n,k)=\\ &\\ &\frac{1}{n!}\sum_{k=1}^{n/2}(n+1)f(n,k)=\\ &\\ &\frac{1}{n!}(n+1)\sum_{k=1}^{n/2}f(n,k)=\\ &\\ &\text{Y de 1 a }\frac n2 \text{hay igual que de }\frac n2+1 \text{ a n}\\ &\text{luego son } \frac{n!}{2}\\ &\\ &\\ &=\frac{1}{n!}(n+1)\frac{n!}{2}=\frac{n+1}{2}\end{align}$$

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El siguiente ya es muy difícil sin tener la teoría que hayas estudiado. Cuanto menos mándamelo en una pregunta distinta y si es posible con el libro o apuntes.

Y eso es todo.