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Voy a hacer lo más sencillo que se me ocurre, si no sale ya corregiremos.
Pues no salió, pero creo que haciendo lo mismo con el inverso saldrá.
Voy a usar mucho el inverso y el apéndice ^-1 es muy aparatoso y, pondré la prima para los inversos a'=a^-1
Sea una clase lateral izquierda Z, tomemos un representante a de ella y definiremos así la aplicación:
f(Z) = H·a'
Primero veamos que está aplicación es independiente del representante elegido. Es decir que si en vez de tomar a € Z tomamos otro b € Z se cumple Ha' = Hb'
Como a y b pertenecen a la misma clase lateral izquierda existe un elemento t tal que
a = tc
b = td
con c,d € H
Sea x € Ha'
x = ja' con j € H
de a=tc deducimos t=ac'
de b=td deducimos t=bd'
luego ac'=bd' ==> a=bd'c ==> a'=c'db'
y sustituyendo a' en x=ja' tenemos
x = jc'db'
tanto j como c' como d son elementos de H y su producto también lo es, luego
x € Hb'
Luego Ha' esta incluido en Hb'
Y si hacemos lo mismo suponiendo que x € Hb' llegaremos a x €Ha' y que por lo tanto
Hb' esta incluido en Ha'
Así que
Ha' = Hb'
Vale, con todo esto hemos demostrado que la aplicación está bien definida, aun nos falta comprobar que es biyectiva.
Sean Z y V dos clases a izquierda tales f(Z) = f(V) vamos a ver que Z = V
Sean a € Z y b € V sendos representantes. Por la definición de la aplicación f se cumple:
Ha' = Hb'
luego dado x=ca' con c € H habrá un d € H tal que x=db'
ca'=db'
c'ca'=c'db'
a' = c'db'
a = bd'c
Como c, d € H también d'c € H luego
a € bH
b € bH puesto que b = be
Luego a y b pertenecen a la misma clase lateral izquierda y por lo tanto Z=V
Queda demostrado que la aplicación es inyectiva.
Para grupos finitos esto sería suficiente porque en ese caso inyectiva implica biyectiva.
Para grupos infinitos no es necesariamente cierto y quedaría demostrar que la aplicación f es suprayectiva.
Sea D una clase derecha de G, demostraremos que hay una clase izquierda Z tal que f(Z)= D
D tendrá la forma Ha para cierto a € G, tomemos el inverso a' y la clase lateral izquierda a'H.
a' Es un representante de la a'H puesto que a' = a'e, luego
f(a'H) = (a')'H = aH = D
Luego para cualquier clase lateral derecha existe una clase lateral izquierda tal que la imagen de la CLI es la CLD, así que la aplicación es suprayectiva.
Y en resumen es biyectiva tanto para grupos finitos como infinitos.
Y eso es todo.
