Veo que ahora les da por no usar la terminología castellana de toda la vida. Flaco favor nos hacen los traductores o los que siendo hispanos adoptan el vocabulario anglo-germano al escribir sus libros.
Por definición. La matriz A tiene un valor propio c y su vector propio correspondiente x, si se cumple:
Ax=cx
Veamos que con la matriz A^2
Multiplicamos a izquierda
A(Ax) = A(cx)
El escalar c puede cambiar de posición como quiera
(AA)x = c(Ax)
(A^2)x = c(cx)
(A^2)x = (c^2)x
Luego la matriz A^2 tiene los mismos vectores propios y los valores propios correspondientes son el cuadrado de los de la matriz A
Ahora veamos que pasa al multiplicar por un escalar una matriz cualquiera
Mx = cx
a(Mx) = a(cx)
(aM)x = (ac)x
El vector propio se mantiene y el valor propio correspondiente se multiplica por el escalar.
Y con la matriz identidad se cumple
Ix = 1·x
Tiene cualquier valor propio y su valor propio es 1
La matriz a0·I tendrá valor propio a0 y cualquier vector le es propio.
Finalmente veamos que pasa con la suma de dos matrices que tienen el mismo vector propio.
Mx = cx
Nx = dx
Mx + Nx = cx + dx
Por la propiedad distributiva
(M+N)x =(c+d)x
La suma hace matrices con el mismo vector propio hace que se mantenga ese vector propio y el valor propio correspondiente es la suma de los valores propios correspondientes de las dos matrices.
Pues después de toda esta preparación ya está hecho prácticamente.
Sea c un valor propio de A y x su vector propio correspondiente
A2·A^2 tiene el vector propio x y el correspondiente valor propio es a2·c^2
A1·A tiene el vector propio x y el valor propio correspondiente a1·c
A0·i tiene el vector propio x y el valor propio correspondiente es a0
Al tener las tres el mismo vector propio podemos usar lo que decíamos de la suma y esta tiene el vector propio x como uno de los suyos y el valor propio correspondiente es
La suma de los valores propios:
a2·c^2 + a1·c + a0
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. NO olvides puntuar o pedir aclaraciones.