Longitud curva

¿Hola dudoso, que tal?
En esta ocasión mi duda calcular la longitud de un trozo de la curva hipérbola: x^2 - y^2 = 1 por ejemplo desde el punto (1,0) hasta (x, f(x)) donde naturalmente f(x)=Raíz(x^2-1) definida pongamos en [1,..] (esto es lo de menos). Lo he intentado hacer usando la fórmula de aplicación del calc. Integral a long curvas: int_a^b(raíz(1+(f'(x))^2))dx) y no me converge (eso me dice el Mathematica al hacerla entre 1 y x). He intentado en segunda instancia poner otra parametrización, como esta a(t)=(Raiz(1/(1-t^2)), Raiz(t^2/(1-t^2))). Utilizando geometría diferencial hallo la longitud por long = int_0^z(|a'(t)|dt) y no me converge tampoco. ¿Cómo calculo entonces la longitud de un trozo de curva (de la parte de arriba y derecha)empezando desde el eje de abscisas (x=1)?
Como siempre gracias de antemano
PD1: Para otras ocasiones, si conoces Látex, te puedo escribir los mensajes como si los escribiera para Látex y quizás te sea más fácil cortar y pegar el texto en un editor y compilar. Dime si lo prefieres así.
PD2: ¿Te importaría decirme en qué Universidad estudiastes matemáticas?
Gracias, hasta pronto.
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1 respuesta

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Respuesta de
Centrémonos ahora en tu caso:
Te haré el ejemplo con dos parametrizaciones distintas y te quedas con la que más te gusta.
1ª parametrización (de escribo del mismo modo que el MATHEMATICA)
x[t_]=t
y1[t_]=Sqrt[t^2-1] (Raiz(t^2-1)) (para representar la parte superior de la hiperbola)
y2[t_]=-Sqrt[t^2-1] ((-Raiz(t^2-1)) (para representar la parte superior de la hiperbola)
Pensemos que queremos hallar la longitud de la curva entre (1,0) y (4,Raíz(15)).
(las dos partes, superior e inferor).
Hallamos los valores de t para los cuales nos dan como resultado los puntos arriba mencionados.
Para ello, el comando Solve de MATHEMATICA nos lo hace.
Solve[{x[t]==1,y[t]==0},t]
la solucion es: t =1
Solve[{x[t]==4,y[t]==Raiz(15)},t]
la solucion es:t=4.
Luego la longitud de la curva sería (nos daría la longitud de la parte superior, ya que el (4, raíz(15)) estaría arriba):
Long = NIntegrate[Sqrt[(x'[t])^2+(y'[t])^2],{t,0,4}]
Y la solución es : 4.96773
Si queremos las dos partes multiplicamos por 2, ya que es simétrica la curva y la solución sería: 9.93546
Con la segunda parametrización:
x[t_]=1/Sqrt[1-t^2] (1/Raiz(1-t^2)
y[t_]=t/Sqrt[1-t^2] (t/Raiz(1-t^2)
Esto para la los por mayores que 1.
Y para los por menores que -1:
x[t_]=-1/Sqrt[1-t^2] (-1/Raiz(1-t^2)
y[t_]=t/Sqrt[1-t^2] (t/Raiz(1-t^2)
Se hace del mismo modo.Si queremos hallar la longitud de un trozo de curva
Si queremos hallar la longitud de la curva(de la parte de arriba y derecha)empezando desde el eje de abcisas (x=1) al (4,raiz(15)), p.ejemplo, entonces es lo mismo que hallar la longitud desde (4,-raiz(15)) al (4,raiz(15)), por ser simétrica la curva.
Utilizamos la parametrización de la parte en que los por son mayores que 1, y aplicando el comando Solve hallamos los valores de t que corresponden a los puntos (4,-raíz(15)) y (4, raíz(15)), los cuales son t =-Raíz(15)/4 y t=raíz(15)/4.
Aplicamos el NIntegrate del mismo modo en el que te lo he definido antes, cambiando el intervalo de integración y da 9.93546. Utilizo NIntegrate y no Integrate para que me de como resultado un valor numérico, porque puede que con algunas parametrizaciones, aplicando Integrate resulten problemas.
Esto es todo.Si tienes alguna duda, no dudes en preguntármelo.
PD1: Por mi no hay problema. Entiendo el lenguaje LÁTEX, de hecho lo utilizo de vez en cuando, je je... De ese modo me va a resultar igual más cómodo entender las expresiones matemáticas...
PD2: Yo estudie Matemáticas en la Universidad del País Vasco.(UPV-EHU).
¿Y tu?
Hola sergioandalu:
Te respondo:
En primer lugar, he de decirte que ayer me fue imposible responderte ya que tuve problemas para acceder a esta página y te respondo hoy. Lo siento.
Para calcular longitudes de trozos de curvas, es mejor que primero parametrices la curva y luego utilices la fórmula de calculo de longitudes para curvas parametrizadas, la cual es la siguiente (supongo que es la misma que has puesto tu arriba, pero de otro modo):
(si queremos hallar la longitud entre x = -1 y x=2,por ejemplo)
long = int a^b (Raiz(x'(t)^2+y'(t)^2)dt)
Si la curva es plana (en este caso en el plano XY)
y
long = int a^b (Raiz(x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2)dt)
Si la curva esta en 3 dimensiones.
Pero, ¿que son a y b? A es el valor de t para el cual la curva toma el valor x= -1 y b el valor de t para el cual la curva toma el valor por = 2.
Ahora bien, necesitamos que la curva esté parametrizada.
En este caso, dado que estamos con una hipérbola, (lo mismo ocurre con circunferencias, si no utilizamos los cosenos y senos), debemos tener dos parametrizaciones para representar las dos hojas que tiene la hipérbola.
Arriba, tu me das una, pero corresponde a la parte de la derecha, la de la derecha es
La misma pero con el signo cambiado.
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