Longitud curva

¿Hola dudoso, que tal?
En esta ocasión mi duda calcular la longitud de un trozo de la curva hipérbola: x^2 - y^2 = 1 por ejemplo desde el punto (1,0) hasta (x, f(x)) donde naturalmente f(x)=Raíz(x^2-1) definida pongamos en [1,..] (esto es lo de menos). Lo he intentado hacer usando la fórmula de aplicación del calc. Integral a long curvas: int_a^b(raíz(1+(f'(x))^2))dx) y no me converge (eso me dice el Mathematica al hacerla entre 1 y x). He intentado en segunda instancia poner otra parametrización, como esta a(t)=(Raiz(1/(1-t^2)), Raiz(t^2/(1-t^2))). Utilizando geometría diferencial hallo la longitud por long = int_0^z(|a'(t)|dt) y no me converge tampoco. ¿Cómo calculo entonces la longitud de un trozo de curva (de la parte de arriba y derecha)empezando desde el eje de abscisas (x=1)?
Como siempre gracias de antemano
PD1: Para otras ocasiones, si conoces Látex, te puedo escribir los mensajes como si los escribiera para Látex y quizás te sea más fácil cortar y pegar el texto en un editor y compilar. Dime si lo prefieres así.
PD2: ¿Te importaría decirme en qué Universidad estudiastes matemáticas?
Gracias, hasta pronto.

1 respuesta

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Respuesta de
Centrémonos ahora en tu caso:
Te haré el ejemplo con dos parametrizaciones distintas y te quedas con la que más te gusta.
1ª parametrización (de escribo del mismo modo que el MATHEMATICA)
x[t_]=t
y1[t_]=Sqrt[t^2-1] (Raiz(t^2-1)) (para representar la parte superior de la hiperbola)
y2[t_]=-Sqrt[t^2-1] ((-Raiz(t^2-1)) (para representar la parte superior de la hiperbola)
Pensemos que queremos hallar la longitud de la curva entre (1,0) y (4,Raíz(15)).
(las dos partes, superior e inferor).
Hallamos los valores de t para los cuales nos dan como resultado los puntos arriba mencionados.
Para ello, el comando Solve de MATHEMATICA nos lo hace.
Solve[{x[t]==1,y[t]==0},t]
la solucion es: t =1
Solve[{x[t]==4,y[t]==Raiz(15)},t]
la solucion es:t=4.
Luego la longitud de la curva sería (nos daría la longitud de la parte superior, ya que el (4, raíz(15)) estaría arriba):
Long = NIntegrate[Sqrt[(x'[t])^2+(y'[t])^2],{t,0,4}]
Y la solución es : 4.96773
Si queremos las dos partes multiplicamos por 2, ya que es simétrica la curva y la solución sería: 9.93546
Con la segunda parametrización:
x[t_]=1/Sqrt[1-t^2] (1/Raiz(1-t^2)
y[t_]=t/Sqrt[1-t^2] (t/Raiz(1-t^2)
Esto para la los por mayores que 1.
Y para los por menores que -1:
x[t_]=-1/Sqrt[1-t^2] (-1/Raiz(1-t^2)
y[t_]=t/Sqrt[1-t^2] (t/Raiz(1-t^2)
Se hace del mismo modo.Si queremos hallar la longitud de un trozo de curva
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