Triángulos

Me podrías explicar por qué (Empírica y formalmente), el caso LAL sí es un criterio de congruencia de triángulos válido, mientras que LLA no lo es.

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Por esta misma razón, en el caso LAL, e considera como criterio de congruencia, ya que los lados y el ángulo entre ellos son iguales, y siempre existe solución. En cambio, en el LLA, al conocer dos lados y un ángulo no entre ellos, al no poder garantizar la existencia del ángulo opuesto, no se establece como criterio de congruencia.
Aún así, te dejo una dirección web en la cual viene explicado:
http://www.geometriainteractiva.com/triangulos/triangulos2.htm
Hola kori0931.
Te explico:
Si los triángulos tienen seis medidas (tres ángulos y tres lados), son muchas las combinaciones de tres datos conocidos: pueden conocerse los tres ángulos, o dos de los ángulos y el lado entre ellos, o dos de los ángulos y un lado no entre ellos, etc. En total son ocho posibilidades, que por simetría se reducen a seis. Vamos a denotarlas con un código de tres letras, en el que las letras A y L denotan ángulo conocido y lado conocido, respectivamente. Los tres casos que mencionamos arriba se denotarán AAA (se conocen tres ángulos), ALA (dos ángulos y el lado entre ellos) y AAL o LAA (dos ángulos y un lado no entre ellos).
Las ocho posibilidades que mencionamos pueden agruparse de la siguiente manera:
El caso AAA: Este es el más fácil en el sentido de que no hay nada que hacer. Como ya mencionamos, no pueden encontrarse los lados si sólo se conocen los ángulos.
Los casos AAL (o LAA) y ALA: Entre los casos factibles, estos son los más sencillos. Conociendo dos ángulos y un lado, puede calcularse primero el tercer ángulo sabiendo que la suma de los tres es 180o, y luego usarse la ley de senos para cada uno de los lados faltantes.
El caso LAL: Conociendo dos lados y el ángulo entre ellos puede usarse la ley de cosenos para calcular el tercer lado, luego la ley de senos para encontrar el ángulo más pequeño entre los que faltan (recuérdese no usar la ley de senos para calcular el ángulo más grande, siempre que pueda evitarse), y finalmente determinar el tercer ángulo sabiendo que la suma de los tres es 180o.
El caso LLL: Si se tienen las longitudes de los tres lados, puede calcularse cada uno de los ángulos con la ley de cosenos, pero esto es más trabajo del necesario, porque la ley de cosenos es más complicada que la de senos. Para resolver el problema a mano podría empezarse usando la ley de cosenos para encontrar el ángulo mayor, luego la ley de senos para cualquiera de los otros dos ángulos (a fin de no usar la ley de senos para el ángulo mayor), y por último calcular el tercero restando de 180o las medidas de los otros dos.
El caso LLA (o ALL): Al conocer dos lados y un ángulo no entre ellos, debe empezarse por calcular el ángulo desconocido opuesto a un lado conocido, con la ley de senos. Pero éste puede ser obtuso o agudo (dos soluciones), recto (una solución) o puede no existir. En caso de haber solución, se encuentra el tercer ángulo restando de 180o, y por último el lado faltante por ley de senos.
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