Hola ! Quisiera saber si este ejercicio esta bien. Encuentre la ecuación
Hola!!
Esta bien este calculo?
1)Encuentre la ecuación de un plano que pase por los puntos:
A( 1, 2, 3) B(0, 1, -4) C(4, -1, 2)
AB = (0-1)i +(1-2)j +(-4-3)k =-i -j -7k
AC= (4-1)i + (-1-2) j + (2 -3) k= 3i - 3j -k
después calcule el producto cruz
AB X AC = -21 i - 22 j + 6k
tomo un punto cualquiera A( 1, 2, 3) para hallar la ecuación del plano
-21.1 +-22.2+6.3 +d=0
-21-44+18+d=0
d= 47
La ecuación del plano seria -21.i -22.j+6.k +47=0 es correcto
tengo dudas también con el segundo que dice:
2) Encuentre la ecuación de un plano paralelo y perpendicular al anterior que pase por los puntos
a) P(2, 1, -3)
b) P( 1, -4, 5)
los coeficientes del plano anterior son (-21, -22, 6)
Si es paralelo el tengo que calcular (2, 1, -3).(-21 , -22, 6) +d= 0
2. -21 + 1.-22 +6.-3 +d = 0
-41-22-18 +d =0
d = 81
la ecuación de plano es -21 x - 22 y + 6z +81=0
Cuando es perpendicular tengo que encontrar un vector tal que (-21, -22, 6 ).(u1,u2,u3)=0
no se como encontrar el vector perpendicular me explicas? Los cálculos anteriores están bien? . Un Saludo !!
1 Respuesta
Tienes bien el planteamiento del primero. Calculas dos vectores del plano, haces su producto vectorial para calcular el vector perpendicular que es el vector director del plano y cuyas coordenadas son los coeficientes (A, B, C) de la ecuación del plano. Y para calcular el coeficiente D haces que el plano contenga al punto que te dicen.
Pero hiciste mal la primera coordenada del producto vectorial y no escribiste la ecuación al uso al final. La primera coordenada del producto vectorial es:
(-1)(-1) - (-3)(-7) = 1 - 21 = -20i
con ello el plano tiene ecuación
-20x - 22y + 6z + D = 0
y para que pase por el punto (1,2,3)
-20 - 44 + 18 + D = 0
D = 46
Luego la ecuación del plano es
-20x - 22y + 6z + 46 = 0
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Al tener mal la ecuación del plano se tienen que hacer los cálculos que nuevo.
Un plano paralelo tiene el mismo vector director, luego los mismos coeficientes A, B y C de la ecuación del plano, será por tanto
-20x - 22y + 6z + D = 0
para calcular D imponemos que pase por el punto que nos dicen, (2,1,-3)
-20·2 -22·1 +6(-3) + D = 0
-40 - 22 - 18 + D = 0
D = 80
y el plano paralelo es
-20x - 22y + 6z + 80 = 0
Y el perpendicular no es único, habrá infinitas direcciones de vectores perpendiculares al vector director del plano.
Como dices tienes que hallar un vector (u1, u2, u3) perpendicular al vector director del plano
(-20, -22, 6)·(u1,u2,u3) = 0
-20u1 - 22u2 + 6u3 = 0
Solo tienes una ecuación y tres incógnitas, luego a dos de ellas puedes darles el valor que quieras (salvo dos ceros) y calculas el valor de la otra.
Yo primero daría valor 0 a u3
-20 u1 - 22 u2 = 0
-20u1 = 22u2
10u1 = -11u2
Y ahora daría a u2 un valor que haga que u1 sea entero, por ejemplo u2=-10
10u1= -11(-10) = 110
u1 = 110 / 10 = 11
Con lo cual el vector perpendicular que tomamos es (11, -10, 0) y ahora imponemos que el plano pase por el punto (1, -4, 5)
11 + 40 + D = 0
D = -51
y el plano es
11x - 10y - 51 = 0
Pero si hubieras hecho u3=1 tendrías otro plano, u3=2 otro, etc.
Y eso es todo.
Hola! este también podría ser el vector perpendicular al vector director del plano
(-20,-22,6).(-3,0,-10)=0
-3x +0y -10 .z +d=0
P(2,1,-3)
-3.2+ -10.(-3)+d=0
-6+30 +d=0
d=-24
y la ecuación del plano seria -3 x- 10 z -24=0 Esto seria correcto también? se pueden encontrar infinitos plano? Saludos!!
Si, está bien, cualquier vector distinto de (0,0,0) cuyo producto escalar con (-20, 22, 6) sea 0 sirva como vector director del plano perpendicular.
Y hay infinitos planos porque el vector director tiene tres coordenadas, podemos descartar una haciendo que el vector sea unitario ya que el mismo plano nos dará (1,2,4) que (2,4,8). Entonces hay dos coordenadas libres, pero el producto escalar solo nos proporciona una ecuación, luego hay una coordenada que podemos tomar a nuestro antojo y nuestro antojo puede ser infinito, tanto como números reales existen.
Y eso es todo.
