Demostrar límite con la definición

Podemos poner el término general de la sucesión como producto de n veces el 3 dividido por n factorial quedará:

$$\begin{align}&X_n=\frac{3·3·3·3·3···3}{1·2·3·4·5···n}=\\ &\\ &\\ &\frac{27}{6}·\frac{3·3···3}{4·5···n} \lt \frac{27}{6}\left(\frac 34\right)^{n-3}\\ &\\ &\\ &\\ &0 \le \lim_{x \to \infty} Xn \le \lim_{x \to \infty}\frac{27}{6}\left(\frac 34\right)^{n-3}=0\\ &\\ &Luego\\ &\\ &\lim_{x \to \infty} \frac{3^n}{n!}= 0\end{align}$$

No sé si te vale con eso, hemos aplicado el teorema del emparedado. No obstante nos servirá de ayuda para confirmar que efectivamente es cero y averiguar el delta que necesitaremos.

$$\begin{align}&Dado \;\epsilon\gt 0 \;debemos\; hallar\; un \;k \;tal \;que\\ &\\ &|X_n-0| \lt \epsilon\\ &\\ &\left|\frac{3^k}{k!}\right|\lt \frac{27}{6} \left( \frac 34 \right)^{k-3}<\epsilon\\ &\\ &\text {Resolveremos esa inecuación con incógnita k}\\ &\\ &\left( \frac 34 \right)^{k-3}<\frac{6 \epsilon}{27}\\ &\\ &\\ &(k-3)·ln \left(\frac 34 \right) \lt ln\left( \frac{6 \epsilon}{27}\right)\\ &\\ &\\ &\text{Atención ln(3/4) es negativo, pasa al otro lado} \\ &\text{cambiando el sentido de la desigualdad}\\ &\\ &k-3>\frac{ln(6\epsilon/27)}{ln(3/4)}\\ &\\ &k >\frac{ln(6\epsilon/27)}{ln(3/4)}+3\\ &\\ &\text{Tomamoremos:}\\ &\\ &k= \frac{ln(6\epsilon/27)}{ln(3/4)}+4\\ &\\ &\text{Y se cumplirá la definición del límite}\end{align}$$

Y eso es todo.

Disculpa, si sustituyes el valor de k al principio, como llegas a que |X_n - 0|<epsilon ..??

Y como sacas este factor:

$$\frac{27}{6}\left(\frac 34\right)^{n-3}$$

En realidad el número k es la parte enterar de lo que sale ahí.

La demostración es dar los pasos hacia atrás. Toda la cadena de implicaciones es de doble sentido (si y solo si) partiendo del final llegas al principio, es decir partiendo de un número n mayor que ese k se llega a |Xn|<epsilon.

Si pretendes hacerlo desde el principio, colocando esa expresión como subíndice para demostrar que el término de la sucesión es menor que épsilon te puedes volver loco. Eso solo se puede hacer cuando la expresión de k es relativamente sencilla.

Hay dos formas en que te demuestran los límites. Uno es el truco de magía, te dan un k sin decirte por qué, hacen operaciones y les sale que la sucesión es menor que epsilon. Eso es lo que tu querrías ahora, que yo tomara ese k lo pusiese como término de la sucesión y se demostrara que ese término es menor que épsilon.

Y la otra forma es la forma natural, te enfrentas al problema y calculas el k que te hace falta para que el término será menor que épsilon. Y una vez se ha hecho eso ya no necesita más. La comprobación del otro tipo puede ser tediosa mientras que si los pasos que se dieron admiten vuelta atrás ya está demostrado.

Recuerda como se hacen las demostraciones de A si y solo si B. Algunas veces tienes que demostrar que A implica B y luego que B implica A. Pero si las implicaciones que has usado son todas de doble sentido haces A <==> C <==> D <==> ....<==> B y ya está.

Lo único que no puse los <==> porque tampoco pensaba que luego me pidieras esto que me pides.

El 27/6 es el producto de los tras primeros factores, considerando como factores los números (1/3), (2/3) y (3/3). Se extraen fuera porque no tienen la norma de los siguientes donde el denominador es mayor que el numerador y gracias a eso todos los siguientes tienen un producto menor que (3/4) elevado al número de factores que quiedan que son n-3.

Y eso es todo.

Yo juraría que el corrector ortográfico cambia algunas palabras que escribes. Donde pone "los tras primeros factores" debe decir "los tres primeros factores".

Hola! entiendo, gracias.

Una pregunta más, en la definición de límite nos dice que para todo epsilon mayor que cero exite una n se cumple lo de la distancia menos a epsilon. Mi pregunte es si ésta n que existe es única. gracias.