Anónimo
Números complejos. Bachillerato
Aquí lo tienes ;) a ver si me puedes ayudar :)
Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Determina b para que el módulo del cociente (b+4i) / (1+i) sea sqrt (6)
b) La suma de dos números complejos conjugados es 24, y la suma de sus módulos es 26. ¿De qué números complejos se trata?
c) La suma de dos números complejos es (5-3i). El cociente de ambos es imaginario puto, y la parte real del numerador es 4. Halla dichos números
1 respuesta
a) Primero vamos a retocar la expresión sin modificar su valor. Para ello multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador que es (1-i)
(b+4i)(1-i) / [(1+i)(1-i) =
(b -bi +4i -4i^2)/(1 - i^2) =
como i^2 = -1 tenemos
(b + (4-b)i + 4) / (1+1) = (b+4)/2 + (4-b)i/2
Y eso debe ser sqrt(6)
(b+4)/2 + (4-b)i/2 = sqrt(6)
Para que esto suceda el coeficiente de la parte imaginaria debe ser cero.
4-b = sqrt(6)
b = 4 - sqrt(6)
Y eso es todo, ya sabes que las raíces cuadradas se dejan escritas sin operar salvo que el resultado sea un número entero.
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b) Si son números complejos conjugados tendrán la forma
a+bi
a-Bi
Su suma es 24.
a + bi + a - bi = 24
2a = 24
a = 12
Ahora nos dicen que la suma de módulos es 26.
Dos complejos conjugados tienen el mismo módulo, basta con que apliques la fórmula y verás que da exactamente lo mismo.
|12+bi| = sqrt(12^2 + b^2)
|12-bi| = sqrt(12^2 +(-b)^2) = sqrt(12^2 + b^2)
Entonces
2sqrt(12^2 + b^2) = 26
Elevamos al cuadrado
4(12^2 + b^2) = 26^2
576 + 4b^2 = 676
4b^2 = 676-576 = 100
b^2 = 100/4 = 25
b = +- 5
Parece que hay dos respuestas pero en conjunto es la misma.
Los números son 12+5i y 12-5i
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c)
el c se te ha olvidado? no sale :$
No se me olvidó, es culpa de la maldita página esta, ya te dije que me había costado horrores mandar la respuesta y por lo que veo no la mando entera. Voy a resolverlo de nuevo y espero que esta vez no se pierda la respuesta.
La suma de dos números complejos es (5-3i). El cociente de ambos es imaginario puro, y la parte real del numerador es 4. Halla dichos números.
El número del numerador será
a + bi
y el del denominador
c + di
Nos dicen que la parte real del numerador es 4, luego a = 4
La suma de los dos números es:
4 + bi + c + di = 5 - 3i
(4+c) + (b+d)i = 5 - 3i
Igualando partes reales e imaginariaS tenemos:
4+c = 5 luego c=1
b+d = -3 despejamos d = -(3+b)
Y ahora haremos el cociente aplicando todo lo calculado hasta ahora
(4 + bi) / [1 -(3+b)i] =
Aplicamos el truco de siempre de multiplicar y dividir por el conjugado del denominador. Déjame que el denominador lo opere ya para que no salga tan aparatoso.
(4 + bi)[1+(3+b)i] / [1 -(3+b)^2] =
[4 + 4(3+b)i + (b^2)i + b(3+b)i^2] / [1-(3+b)^2]
Si el cociente es imaginario puro significa que la parte real es 0, y ademas esta será 0 si lo es su numerador, luego:
4 - b(3+b) = 0
4 - 3b - b^2 = 0
b^2 + 3b - 4 = 0
b = [-3 +- sqrt(9 +16)] / 2 = 1 y -4
Luego d puede valer -(3+b) = -4 y 1
Y ya vamos a aplicar todo lo calculado y despejado y los números son
(4+i) junto con (1 - 4i)
o
(4-4i) junto con (1 + i)
Vamos a comprobarlo:
La parte real del que hace de numerador es 4 como puede verse
La suma de ambas parejas es 5 - 3i como puede verse también
(4+i)/(1-4i) = (4+i)(1+4i) / (1 - 16i^2) = (4 +16i + i +4i^2) / 17 = i
(4-4i)/(1+i) = (4-4i)(1-i) / (1-i^2) = (4 - 4i - 4i + 4i^2) / 2 = 4i
Que son imaginarios puros, luego se cumple todo. Tal vez me haya saltado varios pasos pero era una mera comprobación.
A ver si ahora te llega.