Pequeño problema de trigonometría

a) Usaremos la fórmula sel seno del ángulo doble

sen 2x = 2senx·cosx

Luego

csc 2x = 1 / 2senx·cosx

Ya sabemos el seno, ahora calculemos el coseno

$$\begin{align}&cosx=\pm \sqrt{1 -sen^2x}=\\ &\\ &\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\sqrt{1-\frac 19}=\\ &\\ &\sqrt{\frac 89}=\frac{2 \sqrt 2}{3}\\ &\\ &\\ &csc\; 2x=\pm \frac{1}{2 ·\frac 13·\frac{2 \sqrt 2}{3}}=\\ &\\ &\pm \frac{1}{\frac{4 \sqrt 2}{9}}=\pm \frac{9}{4 \sqrt 2}=\pm \frac {9 \sqrt 2}{4 \sqrt 2 \sqrt 2}= \pm \frac{9 \sqrt 2}{8}\end{align}$$

El doble signo tiene una explicación muy sencilla, hay dos ángulos cuyo seno es 1/3, uno está en el primer cuadrante y otro en el segundo, pero no nos dicen en qué cuadrante está. Si 0 <= x <= 90º el doble de x está en los dos primeros cuadrantes y la csc tiene signo positivo.

Si 90º < x <= 180º el doble de x está en los cuadrantes 3 o 4 y la cosecante es negativa.

b) La fórmula de al tangente del ángulo doble es

$$\begin{align}&tg\;2x = \frac{2tgx}{1-tg^2x}= \\ &\\ &\\ &\frac{2·7}{1-7^2}=\frac{14}{-48}=-\frac{7}{24}\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder formular futuras preguntas.