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Hola; Lo que tienes que hacer es aplicar un cambio de variable...
Haz
t= e^x-1-->dt = e^x dx;
dx = dt/e^x=dt/(t+1);
Luego:
Integral(dx/[4-(e^x-1)^2])=
Integral([dt/t+1]/[4-t^2])=
Integral(dt/[(t+1)(4-t^2)])=
Integral(dt/[(t+1)(2-t)(2+t)])=
(A/(t+1))+(B/(2-t))+(C/(2+t));
Por lo que A=1/3; B= 1/12; C=-1/4;
Entonces la solucion es:
(1/3)Ln[1+e^x-1]-(1/12)Ln[2-(e^x-1)]
-(1/4)Ln[2+e^x-1]
Espero que me haya explicado y te sirva de algo
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