Determine el valor de la constante c para que las siguientes integrales sean convergentes.
Además calcule el valor de convergencia!
1. Integral de 2 al infinito de { [Cx / x² +1 ] - [1 / 2x + 1]}
1 Respuesta
Los denominadores siempre entre paréntesis si tienen más de un sumando. Lo mismo pas con los numeradores y exponentes, porque si no, mi obligación es tomar como denominador solo el termino siguiente tal como indican las normas de orden de operaciones.
[Cx / (x² +1) ] - [1 / (2x + 1) ]}
$$\begin{align}&\int_2^{\infty}\left(\frac{Cx}{x^2+1}-\frac{1}{2x+1}\right)dx=\\ &\\ &\left[\frac C2ln(x^2+1)-\frac 12ln(2x+1) \right]_2^{\infty}=\\ &\\ &\frac 12\left[ln \left[\frac{(x^2+1)^C}{2x+1}\right] \right]_2^{\infty}\\ &\end{align}$$Cuando el límite del argumento del logaritmo tienda a infinito la integral será divergente, cuando sea un limite finito será convergente
Dada una función racional el límite es finito en el infinito cuando el grado del polinomio del numerador es menor o igual que el del denominador
El grado del numerador va a ser 2C, el del denominador es 1. Luego debe cumplirse
2C <=1
C <= 1/2
Y eso es todo.
Profe, el 1/2 de donde sale, digamos cuando integras CX / (x^2 +1), que es el ln (x^2 + 1) de donde sale 1/ 2? gracias
El valor de la integral va a ser
$$\begin{align}&\lim_{x\to\infty}\frac 12 ln \left[\frac{(x^2+1)^C}{2x+1}\right]-\frac 12 ln \left[\frac{(2^2+1)^C}{2·2+1}\right]=\\ &\end{align}$$Lo segundo es finito no cuenta par la convergencia o divergencia.
El primer término es un límite donde tenemos el logaritmo neperiano de algo.
¡Vaya, ahora me doy cuenta que que para un logaritmo es tan malo el infinito como el cero! No me di cuenta la vez anterior.
Luego para que ese logaritmo sea una cantidad finita el interior no puede ser no cero ni infinito. Asi que el límite del argumento del logaritmo debe ser un número finito distinto y mayor que 0. Bueno, ya sabrás también que el límite del logaritmo es el logaritmo del límite, luego hemos de hacer que
$$\lim_{x\to\infty}\frac{(x^2+1)^C}{2x+1}=L\quad\text{con }0<L<\infty$$Ese límite se tiene solo cuando el grado del numerador y denominador es el mismo, ya que si es mayor el del numerador el limite es infinito y si es mayor el del numerador es cero
El grado del numerador será 2C, no vamos a calcular el numerador pero sabemos que será un infinitésimo de orden 2C
Y para que haya el mismo grado que el el denominador se debe cumplir
2C=1
C=1/2
Ahora ya está bien y espero que lo hayas entendido.
