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Ver que si 3a^2 - 2b^2 = 1, entonces a^2 - b^2 es divisible entre 40
Para que se cumpla la igualdad, como 2b^2 es par, 3a^2 debe ser impar, luego a^2 debe ser impar y a debe ser impar
Vamos a ver que las congruencias de cuadrados de impares módulo 40 son
1, 9, 25, 9, 1
y las demás son repetidas
1^2 ~: 1 (mod 40)
3^2 ~: 9 (mod 40)
5^2 ~: 25 (mod 40)
7^2 ~: 9 (mod 40)
9^2 ~: 1 (mod 40)
Sea un número n impar mayor que 10
n = 2m + 1 + 10k con m=0,1,2,3 o 4
n^2 =(2m+1)^2 + 20(2m+1)k + 100k^2 = (2m+1)^2 + 40mk + 20k + 100k^2
si le restamos 40mk y 80k^2 queda un número congruente módulo 40
n^2 = (2m+1)^2+40mk+20k+100k^2 ~: (2m+1)^2 + 20(k+k^2)
Si k es impar, k^2 es impar, luego k+k^2 es par. Y si k es par, k^2 es par y k+k^2 es par.
luego 20(k^2+k) es múltiplo de 40 y lo podemos restar manteniendo la congruencia
n^2 ~: (2m+1)^2 con m=0,1,2,3 o 4
Luego lo dicho, las únicas congruencias de cuadrados de impares módulo 40 son
1, 9, 25, 9, 1 y se repiten cíclicamente
tomamos la igualdad
3a^2-2b^2 = 1
2a^2 - 2b^2 = 1 - a^2
2(a^2-b^2) = 1 - a^2
haciendo congruencias modulo 40
2(a^2-b^2) ~: 1-a^2 (mod 40)
los posibles valores de a^2 hemos visto que son 1, 9 o 25
Si a^2 ~: 1 mod 40
2(1-b^2) ~: 1-1 = 0 (mod 40)
1-b^2 ~: 0 o 20 (mod 40)
las dos congruencias posibles son
1 ~: b^2 (mod 40) (Esta puede ser)
-19 ~: 21 ~: b^2 (mod 40) (Esta no puede ser ya que no es 1,9 o 25)
Si a^2 ~: 9 (mod 40)
2(9-b^2) ~: 1-9 =-8 ~: 32 (mod 40)
9-b^2 ~: 16 o 36 (mod 40)
las dos posibilidades son
9-16 = -7 ~: 33 ~: b^2 (no puede ser)
9-36 = -27 ~: 13 ~: b^2 (no puede ser)
Si a^2 ~: 25 (mod 40)
2(25-b^2) ~: 1-25 = -24 ~: 16 (mod 40)
25-b^2 ~: 8 o 28 (mod 40)
que son
25-8 = 17 ~: b^2 ( no puede ser)
25-28 = -3 ~: 37 ~: b^2 (no puede ser)
Luego la única posibilidad es con
a^2 ~: 1 (mod 40) y
b^2 ~: 1 (mod 40)
luego
a^2 - b^2 ~: 1-1 = 0 (mod 40)
Luego a^2-b^2 es múltiplo de 40
Oye, me he pegado mucho tiempo con este ejercicio, no sé si habrá algún método más sencillo.
