Como encuentro el centro de una circunferencia si solo conozco que este pasa por una recta 2x-y+5=0

Los radios que van desde el centro a los puntos de tangencia son perpendiculares a las tangentes y por ser dos radios miden lo mismo. Luego el cetro es un punto que está a igual distancia de las dos rectas tangentes

Sea C(a, b) el centro

Las rectas tangentes en forma general son

r1: x+2y-4=0

r2: -2x+y-3=0

La formula de la distancia punto recta dice

d(C, r1) = |a+2b-4| / sqrt(1+4)

d(C, r2) = |-2a +b-3| / sqrt(4+1)

Como son iguales

|a+2b-4| = |-2a+b-3|

Pueden ser dos ecuaciones

a+2b-4 = -2a+b-3

3a +b =1 ==> b = 1-3a

o esta

a+2b-4 = 2a -b+3

a -3b = -7 ==> a=3b-7

Y estos puntos deben pasar por la recta

2x-y+5=0

El primero de ellos será

2a -(1-3a)+5 =0

2a -1 + 3a + 5 = 0

5a = -4

a = -4/5

b=1 -3(-4/5) = 1+12/5 = 17/5

C = (-4/5, 17/5)

Con el segundo

2(3b-7) -b + 5 = 0

6b -14 -b +5 = 0

5b=9

b=9/5

a= 3(9/5)-7 = 27/5 - 7 = -8/5

C = (-8/5, 9/5)

Ahora para hallar los radios, calculamos la distancia de los centros a una recta tangente

d[(-4/5,17/5), r1] = |-4/5 + 34/5 - 4| / sqrt(5) = 2/sqr(5) = 2sqrt(5)/5

d[(-8/5,9/5), r1] = |-8/5 + 18/5 - 4| / sqrt(5) = 2/sqr(5) = 2sqrt(5)/5

y las ecuaciones canónicas de las dos circunferencias son

(x+4/5)^2 + (y-17/5)^2 = 20/25

(x+8/5)^2 + (y-9/5)^2 = 20/25

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido, sino pregúntame. Y si ya está bien no olvides puntuar para poder hacer más preguntas.