Pregunta 1 de 5 de Teo de Num

Qué manía tienen con que todos los libros de Teoría de Números que se estudian estén en inglés, como si ellos fueran los inventores de todo. Mi nivel de inglés es cero. De todas formas si pudieras decirme el libro a lo mejor me ayudaría.

Pues esto es la resolución de ecuaciones de congruencia, se pone uno de los términos como incógnita y arréglatelas para calcularlo. Si me ha ocurrido que usaré el sombolo :~ para designar la congruencia, asi no se confunde con nada creo yo

ax :~ b (mod m)

Sabes por la definición de congruencia que se verifica

ax - b = km

Si encontraramos números r y s tales que

ar+ms = b

tendríamos

ar - b = ms

luego

ar :~ b (mod m)

y r es la respuesta que buscamos

Y la forma de encontrar ese r es mediante el algoritmo de Euclides ampliado para calcular el maximo común divisor de a y m, ese algotitmo nos dará los números r y s.

Ejemplos:

6x :~ 5 (mod 8)

Planteamos la ecuación diofántica

6r + 8s = 5

(6, 8) = 2

Y 2 no divide a 5, luego no hay solución.

En efecto, 6x sera siempre par y el resto de dividir por 8 será siempre par, luego nunca podrá ser 5.

38x :~ 17 (mod 27)

Planteamos la ecuación diofántica

38r + 27s = 17

(38, 27) = 1 que divide a 17, luego hay solución.

Aplicamos el algoritmo extendido de Euclides.

38 = 27+11

27 = 2·11 + 5

11= 2·5 +1

5=5·1

Y ahora de la penúltima hacia arriba

1 = 11 - 2·5 =

11 - 2(27-2·11) = 5·11 - 2·27 =

5(38-27) - 2·27 = 5·38 - 7·27

Es decir

5·38 - 7·27 = 1

multiplicamos por 17

(5·17)38 - (7·17)·27 = 17

85·38 - 109·27 = 17

Luego ya hemos encontrado esos números r y s, aunque únicamente nos interesa r que es la respuesta

x=85

La verificamos

38·85 = 3230

3230 / 27 = 119.629...

27 es el cociente entero, hallemos el resto

3230 - 27·119 = 3230 - 3213 = 17

Luego se cumple que

3230 :~ 17 (mod 27)

La respuesta está bien.

Y eso es todo.