¿Cual es el valor de a en los naturales con a>2 de las siguientes condiciones?

Las condiciones son

a # 0 (mod 2)

a+1 # 0 (mod 3)

a+2 # 0 (mod 4)

a+3 # 0 (mod 5)

Las podemos poner de otra forma sumando 2 en las congruencias segunda, tercera y cuarta

a # 0 (mod 2)

a # 2 (mod 3)

a # 2 (mod 4)

a # 2 (mod 5)

La tercera implica la primera luego sobra la primera

a # 2 (mod 3)
a # 2 (mod 4)
a # 2 (mod 5)

Y estamos en las condiciones del teorema chino de los restos donde se pide que los módulos sean primos entre si.

El teorema dice que la solución es única modulo 3·4·5 = 120, es decir, hay una cada 120.

Y la resolución es un lío que siempre tengo que repasar, se me olvida.

Llamaremos mi a los módulos: m1=3, m2=4, m3=5

Llamaremos ai a las soluciones de las ecuaciones a1=2, a2=2, a3=2

Calculamos unos Mi para cada ecuación, cada uno de ellos es el producto de los otros módulos

Mi = m1·m2·m3····Mn / mi

M1 = 4·5 = 20

M2 = 3·5 = 15

M3 = 3·4 = 12

Ahora se resuelven las ecuaciones en congruencias Mi·bi # 1 (mod mi) que son estas

1)

20·b1 # 1 (mod 3)

restando 18·b1

2·b1 # 1 (mod 3)

sumándola a si misma

4·b1 # 2 (mod 3)

restando 3·b1

b1 # 2 (mod 3)

2)

15·b2 # 1 (mod 4)

multiplicando por 3

45·b2 # 3 (mod 4)

restando 44·b2

b2 # 3 (mod 4)

3)

12·b3 # 1 (mod 5)

multiplicando por 3

36·b3 # 3 (mod 5)

restando 35·b3

b3 # 3 (mod 5)

Y la respuesta el sumatorio de los productos Mi·bi·ai

xo = 20·2·2 + 15·3·2 + 12·3·2 = 80 + 90 + 72 = 242

Para obtener la menor respuesta no negativa se calcula el residuo módulo120

242 = 2 + 2·120 # 2 (mod 120)

Luego las soluciones son todos los números congruentes con 2 módulo 120, es decir

a = 2 + 120n para todo n €Z

Vamos a probarlo que ha podido haber alguna equivocación

2+120n # 0 (mod 2)

2+120n # 2 (mod 3)

2+120n # 2(mod 4)

2+120n # 2(mod 5)

Si, esas eran las condiciones modificadas del enunciado, luego está bien.

Y eso es todo, tal vez este era tan sencillo que no hubiera hecho falta el teorema chino de los restos, pero este es el método general.